Tìm vị trí của $M$ để thể tích khối tứ diện $MIJK$ lớn nhất.

Bài toán 1
Cho tứ diện đều $ABCD$. Giả sử $M$ là điểm nằm trong tứ diện. Gọi $I,J,K$ lần lượt là hình chiếu của $M$ lên các mặt $(ABC),(ACD), (ABD)$. Tìm vị trí của $M$ để thể tích khối tứ diện $MIJK$ lớn nhất.

Phân tích:
Liên hệ với hình học phẳng ta có bài toán sau

Bài toán 2
Cho tam giác đều $ABC$. Giả sử $M$ là điểm nằm trong tam giác. Gọi $I,J$ lần lượt là hình chiếu của $M$ lên $AB,AC$. Tìm vị trí của $M$ sao cho diện tích tam giác $MIJ$ lớn nhất.
Giải
Ta có bổ đề sau:
Bổ đề

Nếu $M$ là một điểm bất kì trong tam giác đều $ABC$ và $I,J,K$ lần lượt là hình chiếu của $M$ lên $AB,AC, BC$ thì $MI+MJ+MK$ không phụ thuộc vào vị trí của $M$.

Dễ thấy tổng đó chính là đường cao của tam giác đều.

Quay lại bài toán:
Xét tứ giác $AIMJ$, ta có: 
$$\widehat{IAJ} = 60^o;\widehat{AIM}=\widehat{AJM}=90^o$$
Từ đó suy ra: $\widehat{IMJ} = 120^o$.


Ta có:
$$\begin{align*}\sqrt{S_{\Delta MIJ}} &= \sqrt{\frac{1}{2}MI.MJ.\sin 120^o}\\&= \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{4}MI.MJ} \\ &\leq \frac{\sqrt[4]{3}}{2}\frac{MI+MJ}{2} \\ &\leq \frac{\sqrt[4]{3}}{2}\frac{h}{2}\end{align*}$$
Dấu "$=$" xảy ra khi và chỉ khi $MI=MJ$ và $M$ thuộc $BC$. Tức là $M$ là trung điểm $BC$.
Vậy diện tích tam giác $MIJ$ lớn nhất khi và chỉ khi $M$ là trung điểm $BC$.

Sử dụng cách làm của bài toán 1, ta dễ dàng giải quyết bài toán 2. 
Dễ thấy:
$$\widehat{IMK}=\widehat{KMJ}=\widehat{JMI}=\alpha$$
Trong đó $\alpha$ bù với góc giữa hai mặt bên của tứ diện đều.
Khi đó thể tích khối tứ diện $MIJK$ là:
$$V=\frac{MI.MJ.MK}{6}\sqrt{1+2\cos^3\alpha - 3\cos^2\alpha}$$
Đến đây, ta làm tương tự bài 2.
Đáp án của bài toán 1: $M$ là tâm đáy $BCD$.