Min $f(M)= MN+NP+PQ+QM$

Bài toán

Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$. Các điểm $M,N,P,Q$ thay đổi tương ứng trên cạnh $AB,AD,CD,CB$. Tìm GTNN của:

$$f(M)= MN+NP+PQ+QM$$

Giải

Giả sử $AM = m, AN = n, CP = p; CQ = q$. Khi đó theo định lí côsin, ta có:
$ K=\sqrt{m^{2}+n^{2}-mn}+\sqrt{(a-n)^{2}+(a-p)^{2}-(a-n)(a-p)}$
$+\sqrt{p^{2}+q^{2}-pq}+\sqrt{(a-q)^{2}+(a-m)^{2}-(a-q)(a-m)} $

Áp dụng BĐT
$$ x^{2}+y^{2}-xy\ge\frac{1}{4}(x+y)^{2} $$
$$ K = \ge \frac{1}{2}(m+n)+\frac{1}{2}(2a-n-p)+\frac{1}{2}(p+q)+\frac{1}{2}(2a-m-q)= 2a$$
Vậy: $\min K = 2a$ khi và chỉ khi $m = n = p = q$