Processing math: 100%

Min f(M)= MN+NP+PQ+QM

Thứ Sáu, 20 tháng 3, 2015

Bài toán
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Các điểm M,N,P,Q thay đổi tương ứng trên cạnh AB,AD,CD,CB. Tìm GTNN của:
f(M)= MN+NP+PQ+QM

Giải

Giả sử AM = m, AN = n, CP = p; CQ = q. Khi đó theo định lí côsin, ta có:
K=\sqrt{m^{2}+n^{2}-mn}+\sqrt{(a-n)^{2}+(a-p)^{2}-(a-n)(a-p)}

+\sqrt{p^{2}+q^{2}-pq}+\sqrt{(a-q)^{2}+(a-m)^{2}-(a-q)(a-m)}

Áp dụng BĐT
x^{2}+y^{2}-xy\ge\frac{1}{4}(x+y)^{2}
K = \ge \frac{1}{2}(m+n)+\frac{1}{2}(2a-n-p)+\frac{1}{2}(p+q)+\frac{1}{2}(2a-m-q)= 2a
Vậy: \min K = 2a khi và chỉ khi m = n = p = q

0 comments:

Đăng nhận xét

 
Copyright © 2012 Hoàng Ngọc Thế. All rights reserved. Ghi rõ nguồn Hoàng Ngọc Thế khi phát hành lại thông tin trên trang này.