Bài toán:
Cho
hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Gọi $(P)$ là mp bất kì chứa $CD'$ và $\alpha$
là góc tạo bởi mp $(P)$ và mp$(BB'D'D)$. Tìm vị trí mp$(P)$ để $\alpha$ nhỏ
nhất?
Giải
Không
giảm tổng quát ta giả sử cạnh của hình lập phương có độ dài là 1. Gọi $I, I'$
lần lượt là trung điểm của $BD$ và $B'D'$.
$$ID' = \frac{{\sqrt 6
}}{2}; CI = \frac{{\sqrt 2 }}{2} $$
Bài toán tương đương với
đi tìm vị trí của $(P)$ để $ tan \alpha $ nhỏ nhất
*TH1, $BD // (P)$, tức
là $(P)$ chính là $(CD'B')$, ta có:
$$\tan \alpha = \frac{{CI'}}{{II'}}
= \frac{{\sqrt 2 }}{2} $$
*TH2, $BD$ cắt $(P)$ tại
$G$.
Đặt $IG = x$. Gọi $H$ là
hình chiếu của $I$ lên $DG$, ta có:
$IH = \frac{{2S_{D'GI}
}}{{D'G}} $
$= \frac{{IG.D'I.\sin
\widehat{D'IG}}}{{\sqrt {IG^2 + D'I^2 - 2IG.D'I.\cos \widehat{D'IG}} }}$
$= \frac{IG.D'I.DD'}{D'I.\sqrt{IG^2 + D'I^2 - 2IG.D'I.\frac{DI}{D'I}}}$
$= \frac{x}{{\sqrt {x^2
+ \frac{3}{2} - \sqrt 2 x} }}$
Do đó:
$$\tan \alpha = \frac{{CI}}{{IH}}
= \frac{{\sqrt {2x^2 - 2\sqrt 2 x + 3} }}{{2x}} $$
Dễ thấy hàm số:
$$y = \frac{{\sqrt {2x^2
- 2\sqrt 2 x + 3} }}{{2x}} $$
nghịch biến trên $\left(
{0; + \infty } \right) $ và:
$$\mathop {\lim
}\limits_{x \to + \infty } y = \frac{{\sqrt 2 }}{2} $$
Tức là góc alpha ở TH2
luôn lớn hơn góc ở TH1.
Vậy mp cần tìm là
$(CB'D')$
0 comments:
Đăng nhận xét