Tìm vị trí mp$(P)$ để $\alpha$ nhỏ nhất?

Bài toán:

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Gọi $(P)$ là mp bất kì chứa $CD'$ và $\alpha$ là góc tạo bởi mp $(P)$ và mp$(BB'D'D)$. Tìm vị trí mp$(P)$ để $\alpha$ nhỏ nhất?

Giải

Không giảm tổng quát ta giả sử cạnh của hình lập phương có độ dài là 1. Gọi $I, I'$ lần lượt là trung điểm của $BD$ và $B'D'$.

$$ID' = \frac{{\sqrt 6 }}{2}; CI = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$$

Bài toán tương đương với đi tìm vị trí của $(P)$ để $tan \alpha$ nhỏ nhất

*TH1, $BD // (P)$, tức là $(P)$ chính là $(CD'B')$, ta có:

$$\tan \alpha = \frac{{CI'}}{{II'}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$$

*TH2, $BD$ cắt $(P)$ tại $G$.

Đặt $IG = x$. Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ lên $DG$, ta có:

$IH = \frac{{2S_{D'GI} }}{{D'G}}$

$= \frac{{IG.D'I.\sin \widehat{D'IG}}}{{\sqrt {IG^2 + D'I^2 - 2IG.D'I.\cos \widehat{D'IG}} }}$

$= \frac{IG.D'I.DD'}{D'I.\sqrt{IG^2 + D'I^2 - 2IG.D'I.\frac{DI}{D'I}}}$

 

$= \frac{x}{{\sqrt {x^2 + \frac{3}{2} - \sqrt 2 x} }}$

Do đó:

$$\tan \alpha = \frac{{CI}}{{IH}} = \frac{{\sqrt {2x^2 - 2\sqrt 2 x + 3} }}{{2x}}$$

Dễ thấy hàm số:

$$y = \frac{{\sqrt {2x^2 - 2\sqrt 2 x + 3} }}{{2x}}$$

nghịch biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$ và:

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$$

Tức là góc alpha ở TH2 luôn lớn hơn góc ở TH1.

Vậy mp cần tìm là $(CB'D')$