Tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích tứ diện $BDMN$.

Bài toán:
Cho hình chữ nhật $ABCD$ nằm trong mặt phẳng $(P)$ có $AB=a, AD=b$.Hai nửa đường thẳng $Ad$ và $Cs$ cùng phía và vuông góc với $(P), M$ và $N$ lần lượt di chuyển trên $Ad ,Cs$ .Đặt $AM=x,CN=y$,cho biết $(BDM)$ vuông góc với $(BDN)$.Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích tứ diện $BDMN$. 

Giải

Cách 1

Dựng $MQ \perp BD, NP \perp BD$ Dễ thấy $AQ \perp BD, CP \perp BD$

$$AQ=CP=\frac{AB.AD}{BD}=\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

Dễ thấy, $\overrightarrow{MQ},\overrightarrow{NP}$ lần lượt là vector chỉ phương của các mặt phẳng $(BDN),(BDM)$. Vì hai mặt phẳng này vuông góc nên:

$$0=\overrightarrow{MQ}.\overrightarrow{NP}=\left ( \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AQ}\right ).\left ( \overrightarrow{NC} + \overrightarrow{CP}\right )$$

$$=\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{AQ}.\overrightarrow{CP}=xy-\frac{a^2b^2}{a^2+b^2}$$

Vậy $xy=\frac{a^2b^2}{a^2+b^2}$

Ta có:

$$V_{BDMN}=V_{B.ACNM}+V_{D.ACNM}-V_{M.ABD}-V_{N.BCD}$$

Mà:

$$V_{B.ACNM}+V_{D.ACNM}=\frac{1}{3}.S_{MACN}.(BK+DL)$$

$$=\frac{1}{3}.\frac{(x+y)\sqrt{a^2+b^2}}{2}.\frac{2ab}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{ab(x+y)}{3}$$

Và

$$V_{M.ABD}+V_{N.BCD}=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}.ab.(x+y)=\frac{ab(x+y)}{6}$$

Do đó:

$$V_{BDMN}=\frac{ab(x+y)}{6}\geq\frac{ab}{6}.2.\sqrt{xy}=\frac{a^2b^2}{3\sqrt{a^2+b^2}}$$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $x=y$

Cách 2. 
Để đỡ nhầm lẫn, đặt $AM=m;CN=n$
Chọn hệ tọa độ $Oxyz$ sao cho $O$ trùng $A$, $AD, AB, AM$ theo thứ tự nằm trên $Ox, Oy, Oz$. Khi đó, ta có:
$$A(0;0;0),B(0;a;0),D(b;0;0), M(0;0;m), C(b;a;0),N(b;a;n)$$
Vector pháp tuyến của $(BDM),(BDN)$ lần lượt là $\overrightarrow{u}=(am;bm;ab);\overrightarrow{v}=(an;bn;-ab);$
Vì hai mặt phẳng này vuông góc nên ta có:
$$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0\Leftrightarrow xy=\frac{a^2b^2}{a^2+b^2}$$

Thể tích khối $BDMN$ là:
$$V=\frac{1}{6}\left | \left (\overrightarrow{BD}\wedge \overrightarrow{BD} \right ).\overrightarrow{BN} \right |=\frac{ab(m+n)}{6}$$
Đến đây lại áp dụng BĐT Cauchy như trên