Processing math: 100%

Tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích tứ diện BDMN.

Thứ Hai, 22 tháng 4, 2013

Bài toán:
Cho hình chữ nhật ABCD nằm trong mặt phẳng (P)AB=a, AD=b.Hai nửa đường thẳng AdCs cùng phía và vuông góc với (P), MN lần lượt di chuyển trên Ad ,Cs .Đặt AM=x,CN=y,cho biết (BDM) vuông góc với (BDN).Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích tứ diện BDMN

Giải
Cách 1
Dựng MQ \perp BD, NP \perp BD Dễ thấy AQ \perp BD, CP \perp BD

AQ=CP=\frac{AB.AD}{BD}=\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}
Dễ thấy, \overrightarrow{MQ},\overrightarrow{NP} lần lượt là vector chỉ phương của các mặt phẳng (BDN),(BDM). Vì hai mặt phẳng này vuông góc nên:
0=\overrightarrow{MQ}.\overrightarrow{NP}=\left ( \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AQ}\right ).\left ( \overrightarrow{NC} + \overrightarrow{CP}\right )
=\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{AQ}.\overrightarrow{CP}=xy-\frac{a^2b^2}{a^2+b^2}
Vậy xy=\frac{a^2b^2}{a^2+b^2}
Ta có:
V_{BDMN}=V_{B.ACNM}+V_{D.ACNM}-V_{M.ABD}-V_{N.BCD}
Mà:
V_{B.ACNM}+V_{D.ACNM}=\frac{1}{3}.S_{MACN}.(BK+DL)
=\frac{1}{3}.\frac{(x+y)\sqrt{a^2+b^2}}{2}.\frac{2ab}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{ab(x+y)}{3}
V_{M.ABD}+V_{N.BCD}=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}.ab.(x+y)=\frac{ab(x+y)}{6}
Do đó:
V_{BDMN}=\frac{ab(x+y)}{6}\geq\frac{ab}{6}.2.\sqrt{xy}=\frac{a^2b^2}{3\sqrt{a^2+b^2}}
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=y


Cách 2. 
Để đỡ nhầm lẫn, đặt AM=m;CN=n
Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho O trùng A, AD, AB, AM theo thứ tự nằm trên Ox, Oy, Oz. Khi đó, ta có:
A(0;0;0),B(0;a;0),D(b;0;0), M(0;0;m), C(b;a;0),N(b;a;n)
Vector pháp tuyến của (BDM),(BDN) lần lượt là \overrightarrow{u}=(am;bm;ab);\overrightarrow{v}=(an;bn;-ab);
Vì hai mặt phẳng này vuông góc nên ta có:
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0\Leftrightarrow xy=\frac{a^2b^2}{a^2+b^2}

Thể tích khối BDMN là:
V=\frac{1}{6}\left | \left (\overrightarrow{BD}\wedge \overrightarrow{BD} \right ).\overrightarrow{BN} \right |=\frac{ab(m+n)}{6}
Đến đây lại áp dụng BĐT Cauchy như trên

0 comments:

Đăng nhận xét

 
Copyright © 2012 Hoàng Ngọc Thế. All rights reserved. Ghi rõ nguồn Hoàng Ngọc Thế khi phát hành lại thông tin trên trang này.