Phương trình tiếp tuyến và nghiệm bội

Trong bài làm của mình, đa số học sinh sử dụng lập luận như sau:

Cho đường cong (C): $y=f(x)$, đường thẳng (d): $y=ax+b$ là tiếp tuyến của đường cong (C) khi và chỉ khi phương trình: 

$$f(x)-(ax+b)=0$$

có nghiệm kép (hay chính xác hơn là nghiệm bội.

Nghiệm bội của phương trình đa thức thì dễ hiểu, nhưng sẽ giải thích thế nào về nghiệm bội của phương trình không đa thức.

Cần phải trình bày lại vấn đề này như sau:

Cho đường cong (C) là đồ thị hàm số: $y=f(x)$ liên tục trên $[a;b]$, có đạo hàm đến cấp 2 trên $(a;b)$ đường thẳng (d): $y =ax+b$ là tiếp tuyến của đường cong (C) tại $x_0$ khi và chỉ khi tồn tại hàm số $g(x)$ xác định tại $x_0$ sao cho

$$f(x)-(ax+b)=(x-x_0)^2g(x)\quad \quad \text{   (1)}$$

Chứng minh:

1. Giả sử, tồn tại hàm số $y=g(x)$ xác định tại $x_0$ sao cho:

$$f(x) - (ax+b) = (x-x_0)^2g(x), \ \ \ (1)$$

ta chứng minh đường thẳng $y=ax+b$ là tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại $x_0$.

Thật vậy, từ $(1)$ ta có:

$$f(x_0) = ax_0+b, \ \ \ (2)$$

Mặt khác:

$$\begin{align*}\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}&=\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-ax-b}{x-x_0}+\lim_{x \to x_0}\frac{ax+b-f(x_0)}{x-x_0}\\&=\lim_{x \to x_0}(x-x_0)g(x)+\lim_{x \to x_0}\frac{ax+b-ax_0-b}{x-x_0}\\ &=a\end{align*}$$ Như vậy: $f'(x_0)=a$

Từ đó và $(2)$ ta có: $b= f(x_0)-f'(x_0).x_0$

Do đó pttt của đồ thị $y=f(x)$ tại $x_0$ là;

$$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\Leftrightarrow y=ax+b$$

Ta có điều phải chứng minh.

2. Giả sử $y=ax+b$ là tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại $x_0$. Ta chứng minh tồn tại hàm số $y=g(x)$ xác định tại $x_0$ sao cho:

$$f(x) - (ax+b) = (x-x_0)^2g(x), \ \ \ (1)$$
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại $x_0$ có dạng:
$$y = f'(x_0)(x-x_0) +f(x_0)$$

Do đó, áp dụng định lý Lagrange cho hàm số $y = f(x)$, tồn tại số $c \in (a;b)$ sao cho:

\begin{align*}f(x) - (ax+b) =&  f(x) - f(x_0) - f'(x_0)(x-x_0) \\ = & f'\left ( c \right )(x-x_0)-f'(x_0)(x-x_0) \\ =& (x-x_0)(f'\left ( c \right ) -f'(x_0)\end{align*}

Lại áp dụng định lý Lagrange cho hàm số $y = f'(x)$, tồn tại số $d \in (c;x_0)$ (hoặc $d \in (x_0;c)$  sao cho:

$$f(x) - (ax+b) =(x-x_0)^2f''(d)$$

Đặt $g(x) = f''(d)$, ta có điều phải chứng minh.