Bài toán:
Cho dãy số (x_n) biết x_1=4 và x_{n+1}=x_n^2-2, \forall n \in NTìm lim \frac{x_{n+1}}{x_1x_2...x_n}
Giải
Đặt 4=\alpha +\frac{1}{\alpha}, \alpha = 2+\sqrt 3, ta sẽ chứng minh rằng:u_n=\alpha^{2^{n-1}}+\frac{1}{\alpha^{2^{n-1}}},\forall n \geq 1 \ \ \ (1)
Dễ thấy (1) đúng với n=1
Giả sử (1) đúng với n=k, ta có:
\small u_{k+1}=u_k^2-2=\left (\alpha^{2^{k-1}}+\frac{1}{\alpha^{2^{k-1}}} \right )^2-2=\alpha^{2^{k}}+\frac{1}{\alpha^{2^{k}}}
Ta có điều phải chứng minh.
Quay lại bài toán, ta có:
\small \left ( \alpha -\frac{1}{\alpha} \right )x_1.x_2...x_n=\left ( \alpha -\frac{1}{\alpha} \right )\left ( \alpha +\frac{1}{\alpha} \right )... \left (\alpha^{2^{n-1}}+\frac{1}{\alpha^{2^{n-1}}} \right )=\left (\alpha^{2^n}-\frac{1}{\alpha^{2^n}} \right )
Do đó:
\lim \frac{x_{n+1}}{x_1x_2...x_n}=\lim \frac{\alpha^{2^n}+\frac{1}{\alpha^{2^n}}}{\alpha^{2^n}-\frac{1}{\alpha^{2^n}}}\left ( \alpha-\frac{1}{\alpha} \right ) = \alpha-\frac{1}{\alpha} =2\sqrt 3
0 comments:
Đăng nhận xét