Dãy số $x_{n+1}=x_n^2-2$

Bài toán:
Cho dãy số $(x_n)$ biết $x_1=4$ và $x_{n+1}=x_n^2-2, \forall n \in N$Tìm $lim \frac{x_{n+1}}{x_1x_2...x_n}$

Giải

Đặt $4=\alpha +\frac{1}{\alpha}, \alpha = 2+\sqrt 3$, ta sẽ chứng minh rằng:
$$u_n=\alpha^{2^{n-1}}+\frac{1}{\alpha^{2^{n-1}}},\forall n \geq 1 \ \ \ (1)$$
Dễ thấy $(1)$ đúng với $n=1$
Giả sử $(1)$ đúng với $n=k$, ta có:
$$\small u_{k+1}=u_k^2-2=\left (\alpha^{2^{k-1}}+\frac{1}{\alpha^{2^{k-1}}} \right )^2-2=\alpha^{2^{k}}+\frac{1}{\alpha^{2^{k}}} $$

Ta có điều phải chứng minh.


Quay lại bài toán, ta có:

$$\small \left ( \alpha -\frac{1}{\alpha} \right )x_1.x_2...x_n=\left ( \alpha -\frac{1}{\alpha} \right )\left ( \alpha +\frac{1}{\alpha} \right )... \left (\alpha^{2^{n-1}}+\frac{1}{\alpha^{2^{n-1}}} \right )=\left (\alpha^{2^n}-\frac{1}{\alpha^{2^n}} \right )$$

Do đó:
$$\lim \frac{x_{n+1}}{x_1x_2...x_n}=\lim \frac{\alpha^{2^n}+\frac{1}{\alpha^{2^n}}}{\alpha^{2^n}-\frac{1}{\alpha^{2^n}}}\left ( \alpha-\frac{1}{\alpha} \right ) = \alpha-\frac{1}{\alpha} =2\sqrt 3$$