Câu 1: (4 điểm) Giải các phương trình sau:
1) x^2 - 8(x+3)\sqrt{x-1} + 22x - 7 = 0
2) sin^{2}x(4cos^2{x}-1)=cosx(sinx+cosx-sin3x)
Câu 2: (4 điểm) Giải hệ phương trình sau:
\left\{\begin{array}{l}\frac{xy+y-x}{xy-y^2+1}=x^2 \\x^2+y\sqrt{y+\frac{1}{x}}=6y-1 \end{array}\right.
Câu 3: (3 điểm) Cho a,b,c>0 và a^2+b^2+c^2=3.Chứng minh:
\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\geq 3
Câu 4: (3 điểm) Tìm m để phương trình sau không có nghiệm thực:
x^4-mx^3+(m+1)x^2-2x+1=0
Câu 5: (4 điểm) Cho hình chóp đều S.ABCD cạnh a. M là trung điểm của CD
a) Tính theo a khoảng cách từ AM đến SC.
b) Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.AMC
a) Tính theo a khoảng cách từ AM đến SC.
b) Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.AMC
Câu 6:(2 điểm) Tính:
\small A= \frac{2^1.C^0_{2011}}{1.2}- \frac{2^2.C^1_{2011}}{2.3}+ \frac{2^3.C^2_{2011}}{3.4}-...+ \frac{2^{2011}.C^{2010}_{2011}}{2011.2012}- \frac{2^{2012}.C^{2011}_{2011}}{2012.2013}
Câu 5
a) Mặt phẳng chứa AM và song song với SC, cắt SD tại K. Mặt phẳng chứa SC và song song với AM, cắt AB tại L. Gọi P là giao điểm của CL với BD. Khoảng cách cần tìm d là khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (AKM) và (SCL).
Gọi H_1,H_2 lần lượt là hình chiếu của D lên (AKM), (SCL). Khi đó, ta có:
\frac{DH_1}{DH_2}=\frac{DM}{DC}=\frac{1}{2}
Suy ra:
d=H_1H_2=\frac{1}{2}DH_2=\frac{3}{2}.\frac{V_{SDCP}}{S_{\Delta SCP}}=\frac{1}{2}.\frac{SO.S_{\Delta DCP}}{S_{\Delta SCP}}
Mà:
S_{\Delta DCP}=S_{\Delta DCO}+S_{\Delta OCP}=\frac{a^2}{3}
S_{\Delta SCP}=\frac{2}{3}S_{\Delta SCL}=\frac{a^2\sqrt{11}}{12}
Do đó:
d=\frac{a\sqrt{22}}{11}
b) Trong mặt phẳng (ABCD), gọi E là giao điểm của đường trung trực cạnh CM với BD. Ta có:
EC=\sqrt{EQ^2+QC^2} = \sqrt{DQ^2+QC^2} = \frac{a\sqrt{10}}{4}
SE =\sqrt{SO^2+OE^2} = \frac{a\sqrt{10}}{4}
Vậy E là tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện SACM. Bán kính cần tìm là \frac{a\sqrt{10}}{4}