Câu 1: (4 điểm) Giải các phương trình sau:
1) $x^2 - 8(x+3)\sqrt{x-1} + 22x - 7 = 0$
2) $sin^{2}x(4cos^2{x}-1)=cosx(sinx+cosx-sin3x)$
Câu 2: (4 điểm) Giải hệ phương trình sau:
$$\left\{\begin{array}{l}\frac{xy+y-x}{xy-y^2+1}=x^2 \\x^2+y\sqrt{y+\frac{1}{x}}=6y-1 \end{array}\right.$$
Câu 3: (3 điểm) Cho $a,b,c>0$ và $a^2+b^2+c^2=3$.Chứng minh:
$$\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\geq 3$$
Câu 4: (3 điểm) Tìm $m$ để phương trình sau không có nghiệm thực:
$$x^4-mx^3+(m+1)x^2-2x+1=0$$
Câu 5: (4 điểm) Cho hình chóp đều $S.ABCD$ cạnh $a$. $M$ là trung điểm của $CD$
a) Tính theo $a$ khoảng cách từ $AM$ đến $SC$.
b) Tính theo $a$ bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.AMC$
a) Tính theo $a$ khoảng cách từ $AM$ đến $SC$.
b) Tính theo $a$ bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.AMC$
Câu 6:(2 điểm) Tính:
$$\small A= \frac{2^1.C^0_{2011}}{1.2}- \frac{2^2.C^1_{2011}}{2.3}+ \frac{2^3.C^2_{2011}}{3.4}-...+ \frac{2^{2011}.C^{2010}_{2011}}{2011.2012}- \frac{2^{2012}.C^{2011}_{2011}}{2012.2013} $$
Câu 5
a) Mặt phẳng chứa $AM$ và song song với $SC$, cắt $SD$ tại $K$. Mặt phẳng chứa $SC$ và song song với $AM$, cắt $AB$ tại $L$. Gọi $P$ là giao điểm của $CL$ với $BD$. Khoảng cách cần tìm $d$ là khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $(AKM)$ và $(SCL)$.
Gọi $H_1,H_2$ lần lượt là hình chiếu của $D$ lên $(AKM), (SCL)$. Khi đó, ta có:
$$\frac{DH_1}{DH_2}=\frac{DM}{DC}=\frac{1}{2}$$
Suy ra:
$$d=H_1H_2=\frac{1}{2}DH_2=\frac{3}{2}.\frac{V_{SDCP}}{S_{\Delta SCP}}=\frac{1}{2}.\frac{SO.S_{\Delta DCP}}{S_{\Delta SCP}}$$
Mà:
$$S_{\Delta DCP}=S_{\Delta DCO}+S_{\Delta OCP}=\frac{a^2}{3}$$
$$S_{\Delta SCP}=\frac{2}{3}S_{\Delta SCL}=\frac{a^2\sqrt{11}}{12}$$
Do đó:
$$d=\frac{a\sqrt{22}}{11}$$
b) Trong mặt phẳng $(ABCD)$, gọi $E$ là giao điểm của đường trung trực cạnh $CM$ với $BD$. Ta có:
$$EC=\sqrt{EQ^2+QC^2} = \sqrt{DQ^2+QC^2} = \frac{a\sqrt{10}}{4}$$
$$SE =\sqrt{SO^2+OE^2} = \frac{a\sqrt{10}}{4}$$
Vậy $E$ là tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện $SACM$. Bán kính cần tìm là $\frac{a\sqrt{10}}{4}$