Chia đôi diện tích tứ giác lồi

Thứ Ba, 23 tháng 4, 2013

Anh Đạt có đưa cho em bài toán sau:

Bài toán 1
Cho tứ giác lồi $ABCD$. Hãy vẽ đường thẳng đi qua $A$ và chia tứ giác thành hai phần có diện tích bằng nhau.
 photo chiadoidientich_zpsc05c3105.png

Giải

a) Phân tích: Giả sử đã dựng được đường thẳng $\Delta$ thỏa mãn yêu cầu bài toán. Đường thẳng $\Delta$ cắt $BC$ hoặc $CD$ tại $F$.
Qua $D$ dựng đường thẳng $d$ song song với $AC$; $BC$ cắt $d$ tại $E$.
Dễ thấy:
$$S_{ACD}=S_{ACE}\Rightarrow S_{ABCD} = S_{ABE}$$
Bài toán trở thành tìm điểm $G$ trên cạnh $BE$ sao cho $AG$ chia đôi diện tích tam giác $ABE$. Dễ thấy khi đó $G$ là trung điểm $BE$.
Từ đó nếu $G$ thuộc đoạn $BC$ thì $G\equiv F$, nếu $G$ thuộc đoạn $CE$ thì $AG \cap CD = F$

b) Cách dựng:
Qua $D$ dựng đường thẳng $d$ song song với $AC$; $BC$ cắt $d$ tại $E$.
Dựng trung điểm $G$ của $BE$.
Nếu $G$ thuộc đoạn $BC$ thì $G\equiv F$, nếu $G$ thuộc đoạn $CE$ thì qua $B$ dựng đường thẳng $d'$ song song với $AC$; $CD$ cắt $d'$ tại $E'$.
Điểm $F$ khi đó là trung điểm $DE'$

c) Chứng minh:
Ta có:
$$S_{ABF}=S_{AFE}=S_{AFC}+S_{ACE}=S_{AFC}+S_{ACD}=S_{ADCF}$$
(đpcm)

d) Biện luận: Bài toán có đúng một nghiệm hình.

0 comments:

Đăng nhận xét

 
Copyright © 2012 Hoàng Ngọc Thế. All rights reserved. Ghi rõ nguồn Hoàng Ngọc Thế khi phát hành lại thông tin trên trang này.