Dựng đường tròn tiếp xúc với cả đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác

Bài toán:

Cho $(O),(I)$ lần lượt là đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác $ABC$. Gọi $D$ là tiếp điểm của $(I)$ với $BC$. Hãy dựng đường tròn $(\omega )$ tiếp xúc với cả $(O)$ và $(I)$ lần lượt tại $E$ và $D$.

Giải

Giả sử đã dựng được đường tròn $(\omega )$ tâm $H$ thỏa mãn yêu cầu bài toán. 

Gọi $S=IO \cap ED$.

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác $IOH$ có $D,S,E$ thẳng hàng. Ta có:

$$\frac{SI}{SO}.\frac{OE}{HE}.\frac{HD}{DI}=1$$

Nhưng $OE=R, DI=r, HD=HE$ nên ta suy ra:

$$\frac{SI}{SO}=\frac{r}{R}$$

Từ đó ta suy ra cách dựng như sau:

- Dựng điểm $S = V_{\left(I, \frac{r}{R+r} \right)}(O)$

- Dựng $E=SD \cap (O)$

- Dựng $H=OK \cap ID$.

- Dựng đường tròn $(\omega )$ tâm $H$, bán kính $HE$