Bài toán góc cực đại Regiomontanus

Bài toán góc cực đại Regiomontanus

Một bức tranh treo trên tường. Với độ cao cạnh trên và cạnh dưới của bức tranh trong tầm mắt của người xem. Hãy chọn vị trí đứng để góc quan sát ảnh là lớn nhất.

Giải

Giả sử bức ảnh là đoạn $AB$ trên hình vẽ. Đặt $OA=a,OB=b$. Ta cần tìm vị trí đứng $C$, nằm trên đường ngang mắt $OC$, cách bức tường $OAB$ một khoảng $OC=x$. 

Ta có:

$$\tan \beta = \tan \left (\widehat{BCO}-\alpha \right ) = \frac{\tan \widehat{BCO} - \tan \alpha}{1+\tan\widehat{BCO}\tan\alpha}$$

Mà:

$$\tan \alpha = \frac{a}{x}; \tan \widehat{BCO} = \frac{b}{x}$$

Do đó:

$$\tan \beta = \frac{(b-a)x}{x^2+ab}$$.

Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số không âm $\frac{x}{b-a}$ và $\frac{ab}{(b-a)x}$ ta có:

$$\frac{1}{\tan\beta}=\frac{x^2+ab}{(b-a)x}=\frac{x}{b-a}+\frac{ab}{x(b-a)}\geq \frac{2\sqrt{ab}}{b-a}$$

Vậy:

$$\max \beta = acrtan \frac{b-a}{2\sqrt{ab}} \Leftrightarrow x = \sqrt{ab}$$