Bài toán góc cực đại Regiomontanus
Một bức tranh treo trên tường. Với độ cao cạnh trên và cạnh dưới của bức tranh trong tầm mắt của người xem. Hãy chọn vị trí đứng để góc quan sát ảnh là lớn nhất.
Giải
Giả sử bức ảnh là đoạn AB trên hình vẽ. Đặt OA=a,OB=b. Ta cần tìm vị trí đứng C, nằm trên đường ngang mắt OC, cách bức tường OAB một khoảng OC=x.
Ta có:
\tan \beta = \tan \left (\widehat{BCO}-\alpha \right ) = \frac{\tan \widehat{BCO} - \tan \alpha}{1+\tan\widehat{BCO}\tan\alpha}
Mà:
\tan \alpha = \frac{a}{x}; \tan \widehat{BCO} = \frac{b}{x}
Do đó:
\tan \beta = \frac{(b-a)x}{x^2+ab}.
Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số không âm \frac{x}{b-a} và \frac{ab}{(b-a)x} ta có:
\frac{1}{\tan\beta}=\frac{x^2+ab}{(b-a)x}=\frac{x}{b-a}+\frac{ab}{x(b-a)}\geq \frac{2\sqrt{ab}}{b-a}
Vậy:
\max \beta = acrtan \frac{b-a}{2\sqrt{ab}} \Leftrightarrow x = \sqrt{ab}
0 comments:
Đăng nhận xét