Câu 1
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $C$. Các đường phân giác trong $AM,BN$ cắt đường cao $CH$ lần lượt tại $P,Q$. Chứng minh rằng nếu đường thẳng $d$ đi qua trung điểm các đoạn thẳng $QN,PM$ thì $d$ song song với $AB$.
Câu 2.
Cho dãy $(a_n)$ xác định bởi:
$$\left\{\begin{matrix}a_0=a_1=1\\a_{n+1}=14a_n-a_{n-1}-4 ,\forall n \geq 1 \end{matrix}\right.$$
Chứng minh rằng tất cả các số hạng của dãy số đều là số chính phương
Câu 3.
Chứng minh rằng từ tập hợp gồm có $\binom{2n}{n}$ người, ta luôn có thể tìm được 1 nhóm có $n+1$ người sao cho hoặc mọi người trong nhóm đều quen nhau hoặc không ai quen ai cả.
Ngày 2
Câu 4.
Tìm tất cả cá số nguyên tố $p,q$ sao cho $p$ chia hết $30q-1$ và $q$ chia hết $30p-1$
Câu 5
Cho $x_1,x_2,...x_n$ là các số thực không âm có tổng bằng $1$. Đặt:
$$F_n=x_1^{2}+x_2^{2}+\cdots+x_n^{2}-2(x_1x_2+x_2x_3+\cdots+x_nx_1) $$
Hãy tìm:
a) $\min F_3$
b) $\min F_4$
c) $\min F_5$
Câu 6.
Cho tam giác $ABC$ có $I$ là tâm đường tròn nội tiếp, $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp. Ta chọn các điểm $P,Q,R$ lần lượt trên các đoạn thẳng $IA,IB,IC$ sao cho $$IP.IA=IQ.IB=IR.IC$$
Chứng minh rằng các điểm $I$ và $O$ nằm trên đường thẳng Euler của tam giác $PQR$
0 comments:
Đăng nhận xét