Processing math: 100%

Bosnia Herzegovina TST 2013

Thứ Sáu, 31 tháng 5, 2013

Ngày 1
Câu 1
Cho tam giác ABC vuông tại C. Các đường phân giác trong AM,BN cắt đường cao CH lần lượt tại P,Q. Chứng minh rằng nếu đường thẳng d đi qua trung điểm các đoạn thẳng QN,PM thì d song song với AB.

Câu 2.
Cho dãy (a_n) xác định bởi:
\left\{\begin{matrix}a_0=a_1=1\\a_{n+1}=14a_n-a_{n-1}-4 ,\forall n \geq 1 \end{matrix}\right.
Chứng minh rằng tất cả các số hạng của dãy số đều là số chính phương

Câu 3.
Chứng minh rằng từ tập hợp gồm có \binom{2n}{n} người, ta luôn có thể tìm được 1 nhóm có n+1 người sao cho hoặc mọi người trong nhóm đều quen nhau hoặc không ai quen ai cả.

Ngày 2
Câu 4. 
Tìm tất cả cá số nguyên tố p,q sao cho p chia hết 30q-1q chia hết 30p-1

Câu 5
Cho x_1,x_2,...x_n là các số thực không âm có tổng bằng 1. Đặt:
F_n=x_1^{2}+x_2^{2}+\cdots+x_n^{2}-2(x_1x_2+x_2x_3+\cdots+x_nx_1)
Hãy tìm:
a) \min F_3
b) \min F_4
c) \min F_5

Câu 6.
Cho tam giác ABCI là tâm đường tròn nội tiếp, O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Ta chọn các điểm P,Q,R lần lượt trên các đoạn thẳng IA,IB,IC sao cho IP.IA=IQ.IB=IR.IC
Chứng minh rằng các điểm IO nằm trên đường thẳng Euler của tam giác PQR

0 comments:

Đăng nhận xét

 
Copyright © 2012 Hoàng Ngọc Thế. All rights reserved. Ghi rõ nguồn Hoàng Ngọc Thế khi phát hành lại thông tin trên trang này.