Viết PT đường thẳng nằm trong $(P)$ và đi qua $A \in (P)$ biết $d_{(\Delta,d)}$

Bài toán:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho đường thẳng

$$(d):\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-1}{1}$$

điểm $A(1;4;2)$ và $(P):5x-y+3z-7=0$. Viết ptđt $\Delta$ qua $A$, nằm trong $(P)$ và $d_{(\Delta,d)}=2\sqrt{3}$

Giải

Dễ thấy đường thẳng $(d)$ đi qua điểm $B(1;-1;1)$ và có vector chỉ phương $\overrightarrow{u}=(2;1;1)$, $\overrightarrow{BA}=(0;5;1)$

Ta có các trường hợp sau:

*TH1: Vector chỉ phương của $(\Delta)$ là $\overrightarrow{v}=(1;b;c)$. Khi đó:

$$5-b+3c=0\Leftrightarrow b=3c+5$$

$$\left [\overrightarrow{v},\overrightarrow{u}  \right ] = (b-c;2c-1;1-2b)= (5+2c;2c-1;-9-6c)$$

$$\left [ \overrightarrow{v},\overrightarrow{u}  \right ].\overrightarrow{BA} = 4c-14; \left | \left [ \overrightarrow{v},\overrightarrow{u}  \right ] \right | = \sqrt{44c^2+124c+107}$$

Yêu cầu của bài toán tương đương với:

$$(4c - 14)^2 = 12(44c^2 + 124c + 107) \Leftrightarrow 8c^2 + 25c + 17 = 0$$
$$\Leftrightarrow \left [ \begin{array}{l} c = - 1 \\ c = - \frac{{17}}{8} \end{array} \right.$$

Ta có các vector

$$\overrightarrow{v}_1=(1;2;-1);\overrightarrow{v}_2=\left ( 8;-11;17 \right )$$

*TH2: Vector chỉ phương của $(\Delta)$ là $\overrightarrow{v}=(0;b;c)$. Khi đó:

$$-b+3c=0\Leftrightarrow b=3c$$

Vậy có thể chọn $\overrightarrow{v}'=(0;3;1)$.

Tính khoảng cách, ta thấy khoảng cách là $\frac{1}{\sqrt{11}}$. Không thỏa mãn.

Kết luận, có phương trình đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán:

$$\left \{ \begin{matrix}x=1+t\\y=4+2t  \\ z=2-t \end{matrix}\right.;\left \{ \begin{matrix} x=1+8t'\\y=4-11t'  \\ z=2-17t' \end{matrix}\right.$$