Bài toán:
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho đường thẳng
$$(d):\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-1}{1}$$
điểm $A(1;4;2)$ và $(P):5x-y+3z-7=0$. Viết ptđt $\Delta$ qua $A$, nằm trong $(P)$ và $d_{(\Delta,d)}=2\sqrt{3}$
Giải
Dễ thấy đường thẳng $(d)$ đi qua điểm $B(1;-1;1)$ và có vector chỉ phương $\overrightarrow{u}=(2;1;1)$, $\overrightarrow{BA}=(0;5;1)$
Ta có các trường hợp sau:
*TH1: Vector chỉ phương của $(\Delta)$ là $\overrightarrow{v}=(1;b;c)$. Khi đó:
$$5-b+3c=0\Leftrightarrow b=3c+5$$
$$\left [\overrightarrow{v},\overrightarrow{u} \right ] = (b-c;2c-1;1-2b)= (5+2c;2c-1;-9-6c)$$
$$\left [ \overrightarrow{v},\overrightarrow{u} \right ].\overrightarrow{BA} = 4c-14; \left | \left [ \overrightarrow{v},\overrightarrow{u} \right ] \right | = \sqrt{44c^2+124c+107}$$
Yêu cầu của bài toán tương đương với:
$$(4c - 14)^2 = 12(44c^2 + 124c + 107) \Leftrightarrow 8c^2 + 25c + 17 = 0 $$$$\Leftrightarrow \left [ \begin{array}{l} c = - 1 \\ c = - \frac{{17}}{8} \end{array} \right. $$
Ta có các vector
$$\overrightarrow{v}_1=(1;2;-1);\overrightarrow{v}_2=\left ( 8;-11;17 \right )$$
*TH2: Vector chỉ phương của $(\Delta)$ là $\overrightarrow{v}=(0;b;c)$. Khi đó:
$$-b+3c=0\Leftrightarrow b=3c$$
Vậy có thể chọn $\overrightarrow{v}'=(0;3;1)$.
Tính khoảng cách, ta thấy khoảng cách là $\frac{1}{\sqrt{11}}$. Không thỏa mãn.
Kết luận, có phương trình đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán:
$$\left \{ \begin{matrix}x=1+t\\y=4+2t \\ z=2-t \end{matrix}\right.;\left \{ \begin{matrix} x=1+8t'\\y=4-11t' \\ z=2-17t' \end{matrix}\right.$$
0 comments:
Đăng nhận xét