Viết phương trình mp$(Q)$ đi qua 2 điểm và tạo với $(P)$ một góc nhỏ nhất

Bài toán

Cho hai điểm $A(1;0;0),B(1;1;2)$ và mặt phẳng $(P): x-y+z+1=0$. Viết phương trình mặt phẳng $(Q)$ đi qua $A, B$ và tạo với $(P)$ một góc nhỏ nhất.

Giải

2) Ta có $\overrightarrow{AB}=(0;1;2)$. Giả sử vector pháp tuyến của $(Q)$ là $\overrightarrow{n}=(a;b;c)$. Khi đó, ta có:

$$\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB}=0\Leftrightarrow b=-2c \text{   (1)}$$

Không mất tính tổng quát, ta giả sử $1=a^2+b^2+c^2=a^2+5c^2$. Gọi $\alpha$ là góc giữa $(P)$ và $(Q)$. Ta có:

$$cos \alpha = \frac{|a-b+c|}{\sqrt{3}}$$

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của $|a-b+c$. Áp dụng BĐT Bunhiacopxki và $(1)$, ta có:

$$|a-b+c|=|a+3c| = |a+\frac{3}{\sqrt5}.\sqrt5c|$$
$$\leq \sqrt{\left (a^2+5c^2 \right )\left ( 1+\frac{9}{5} \right )}=\sqrt{\frac{9}{5}}$$

Dấu "$=$" xảy ra khi và chỉ khi:

$$a=\frac{5c}{3}=-\frac{5b}{6}$$

Từ đó, ta có thể chọn $\overrightarrow{v}=(5;-6;3)$ là vector pháp tuyến của $(Q)$.

Phương trình mặt phẳng $(Q)$ là:

$$5x-6y+3z-5=0$$