Tìm vị trí của $M$ để thể tích khối $A'B'C'D'$ lớn nhất

Bài toán:
Cho tứ diện $ABCD$ và một điểm $M$ bên trong tứ diện. Gọi $A'$, $B'$, $C'$, $D'$ lần lượt là giao điểm của $MA$, $MB$, $MC$, $MD$ tương ứng với $(BCD)$, $(ACD)$, $(ABD)$, $(ABC)$. Tìm vị trí của điểm $M$ sao cho tứ diện $A'B'C'D'$ có thể tích lớn nhất.
Giải
Dễ thấy:
$$\frac{V_{MB'C'D'}}{V_{ABCD}} = \frac{MB'}{MB}.\frac{MC'}{MC}.\frac{MD'}{MD}.\frac{MA'}{AA'}$$
Đặt
$$\frac{MA'}{AA'}=a, \frac{MB'}{BB'}=b,\frac{MC'}{CC'}=c, \frac{MD'}{DD'}=d$$
Ta có: $a+b+c+d=1$ và:
$$\frac{MA'}{AM}=\frac{a}{1-a},\frac{MB'}{BM}=\frac{b}{1-b}, \frac{MC'}{CM}=\frac{c}{1-c}, \frac{MD'}{DM}=\frac{d}{1-d}$$
Khi đó:
$$\begin{align*} \frac{V_{A'B'C'D'}}{V_{ABCD}} & = abcd \sum \frac{1}{(1-a)(1-b)(1-c)} \\& = abcd.\frac{3}{(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)} \\ & = abcd.\frac{3}{\prod (a+b+c)} \\ & \leq \frac{3abcd}{81abcd} = \frac{1}{27} \end{align*}$$ Dấu "='" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=d=\frac{1}{4}$.