Đề thi THPT Quốc gia 2016 môn toán

Câu 1 (1,0 điểm).

1.Cho số phức $z=1+2i$.Tìm phần thực và phần ảo của số phức $w=2z+\overline{z}$ .

2.Cho $\textrm{log}_2x=\sqrt{2}$.Tính giá trị biểu thức 

$$A=\textrm{log}_2x^2+\textrm{log}_{\frac{1}{2}}x^3+\textrm{log}_4x$$

Câu 2 ( 1,0 điểm). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=-x^4+2x^2$

          

Câu 3 ( 1,0 điểm).Tìm $m$ để hàm số $f(x)=x^3-3x^2+mx-1$ có hai điểm cực trị. Gọi $x_1,x_2$ là hai điểm cực trị đó , tìm $m$ để $x_1^2+x_2^2=3$

Câu 4 ( 1,0 điểm). Tính tích phân $I=\int_{0}^{3}3x\left ( x+\sqrt{x^2+16} \right )\textrm{dx}$.

Câu 5 ( 1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(3;2;-2);B(1;0;1)$ và $C(2;-1;3)$. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm $A$ và vuông góc với đường thẳng $BC$. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của $A$ trên đường thẳng $BC$ 

Câu 6 ( 1,0 điểm).

1. Giải phương trình $2\textrm{sin}^2x+7\textrm{sin}x-4=0$

2. Học sinh A thiết kế bảng điều khiển điện tử mở cửa phòng học của lớp mình. Bảng gồm 10 nút , mỗi nút được ghi một số từ 0 đến 9 và không có hai nút nào được ghi cùng một số. Để mở cửa cần nhấn liên tiếp 3 nút khác nhau sao cho 3 số trên 3 nút đó theo thứ tự đã nhấn tạo thành một dãy số tăng và có tổng bằng 10. Học sinh B không biết quy tắc mở cửa trên, đã nhấn ngẫu nhiên liên tiếp 3 nút khác nhau trên bảng điều khiển.Tính xác xuất để B mở được cửa phòng học đó

Câu 7 ( 1,0 điểm). Cho lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$, $AC=2a$. Hình chiếu vuông góc của $A'$ trên mặt phẳng $(ABC)$ là trung điểm của cạnh $AC$, đường thẳng $A'B$ tạo với mặt phẳng $(ABC)$ một góc $45^{\circ}$.Tính theo $a$ thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ và chứng minh $A'B$ vuông góc với $B'C$

Câu 8 ( 1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính $BD$. Gọi $M,N$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ trên các đường thẳng $BC,BD$ và $P$ là giao điểm của hai đường thẳng $MN$ và $AC$. Biết đường thẳng $AC$ có phương trình $x-y-1=0$ , $M(0;4)$, $N(2;2)$ và hoành độ điểm $A$ nhỏ hơn 2. Tìm tọa độ các điểm $P,A$ và $B$

Câu 9 ( 1,0 điểm).Giải phương trình:

$3\textrm{log}_{3}^{2}\left ( \sqrt{2+x}+\sqrt{2-x} \right )+2\textrm{log}_\frac{1}{3}\left ( \sqrt{2+x}+\sqrt{2-x} \right ).\textrm{log}_3\left ( 9x^2 \right )$

$+\left ( 1-\textrm{log}_\frac{1}{3}x \right )^2=0$

Câu 10 ( 1,0 điểm). Xét các số thực $x,y$ thỏa mãn 

$$x+y+1=2\left ( \sqrt{x-2}+\sqrt{y+3} \right ) \quad \quad (*)$$

1.Tìm giá trị lớn nhất của $x+y$.

2.Tìm $m$ để $3^{x+y-4}+\left ( x+y+1 \right ).2^{7-x-y}-3\left ( x^{2}+y^{2} \right )\leq m$ đúng với mọi $x,y$ thỏa mãn $(*)$

                    HẾT