Đếm số tam giác

Bài toán:
Một tam giác đều cạnh $n$ được chia làm $n^2$ tam giác đều cạnh 1 bằng các đường thẳng song song với các cạnh của nó .Hỏi có bao nhiêu tam giác đều được tạo thành.

Giải (Hoàng Xuân Thanh)
Để thuận tiện ta gọi dãy số tam giác là dãy $t_n=\frac{n(n+1)}{2}$
Phân loại tam giác ra thành 2 loại: Loại A: $\triangle$ và loại B: $\bigtriangledown$ với các "kích thước" cạnh tương ứng
$\bullet\;\;$ Loại A: $\triangle$
- Số tam giác cạnh $1$ bằng $t_n$
- Số tam giác cạnh $2$ bằng $t_{n-1}$
- ...
- Số tam giác cạnh $n$ bằng $t_1$
Như vậy tổng cộng số tam giác loại này là
$$A=\sum_{k=1}^n t_k=\sum_{k=1}^n \frac{k(k+1)}{2}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$$
$\bullet\;\;$ Loại B: $\bigtriangledown$
- Số tam giác cạnh $1$ bằng $t_{n-1}$
- Số tam giác cạnh $2$ bằng $t_{n-3}$
- ...
- Số tam giác cạnh $m$ bằng $t_{n-2m+1}\quad{}$ với $m=\left\lfloor\frac{n+1}{2}\right\rfloor$
Như vậy tổng cộng số tam giác loại này là
$$\begin{align*} B&=\sum_{k=1}^m t_{n-2k+1}\\&=\sum_{k=1}^m \frac{(n-2k+1)(n-2k+2)}{2}\\ &=\frac{m(4m^2-3m-6mn+3n^2+3n-1)}{6} \end{align*}$$

Cuối cùng ta có số tam giác là:

$$S_n=A+B=\left\lfloor\dfrac{n(n+2)(2n+1)}{8}\right\rfloor$$