Đề thi thử ĐH 2014 của THPT chuyên ĐHSP Hà Nội lần 2

Câu 1 (2,0 điểm)

Cho hàm số $y = \frac{2x+1}{x-1}$.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $\left ( C \right )$ của hàm số.

2) Cho điểm $E(1;0)$. Tìm điểm $M$ thuộc $\left ( C \right )$ sao cho tiếp tuyến của $\left ( C \right )$ tại $M$ cắt tiệm cận ngang của $\left ( C \right )$ tại $F$ và tam giác $EFM$ vuông tại $F$.

Câu 2 (1,0 điểm)

Giải phương trình: $\sin^2x + \frac{(1+\cos 2x)^2}{2\sin 2x} = 2\cos 2x$.

Câu 3 (1,0 điểm)

Giải bất phương trình: $\sqrt{9-\frac{9}{x}} < x - \sqrt{x-\frac{9}{x}}$

Câu 4 (1,0 điểm)

Tính tích phân $I = \int_{0}^{1}\frac{x^3-\sqrt{1-x}}{x+3}dx$

Câu 5 (1,0 điểm)

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại $A$ và $D$. Giả sử:

$$\widehat{CBD}=30^o, AB=a\sqrt{13},AD=a\sqrt{3},SA=SB=SD=3a$$

Tính thể tích hình chóp $S.ABD$ và khoảng cách từ $S$ đến $BC$

Câu 6 (1,0 điểm)

Cho các số thực $a,b,c,d$ thỏa mãn $a+b+c+d=1$. Chứng minh rằng:

$$a^2+b^2+c^2+d^2 - 2(ab+bc+cd+da) + \frac{1}{4} \geq 0$$

Câu 7 (1,0 điểm)

Trong mặt phẳng $Oxy$, cho hình vuông $MNPQ$, biết $MN,NP,PQ,QM$ tương ứng đi qua $A(10;3),B(7;-2),C(-3;4),D(4;-7)$. Lập phương trình đường thẳng $MN$.

Câu 8 (1,0 điểm)

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng: $d_1:\frac{x-4}{3}=\frac{y+3}{-1}=\frac{z-1}{2}$ và $d_2$ là giao tuyến của hai mặt phẳng:

$$(\alpha): x + y - z - 2 = 0; (\beta): x + 3y -12= 0$$

Mặt phẳng $(Oxy)$ cắt hai đường thẳng $d_1,d_2$ lần lượt tại các điểm $A,B$. Tính diện tích tam giác $MAB$, biết $M(1;2;3)$.

Câu 9 (1,0 điểm)

Tìm các giá trị của $a$ để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:

$$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2-a^2=6x-4y-13\\x^2+y^2-4a^2=-10x+8y+4a-40 \end{matrix}\right.$$