Tìm hai điểm $A \neq B$ sao cho độ dài $AB=4$

Bài toán

Tìm trên đồ thị của hàm số $y=\frac{-x+1}{x-2}$ hai điểm $A \neq B$ sao cho độ dài $AB=4$ và đường thẳng $AB$ vuông góc đường thẳng $d: y=x$

Giải

Do $AB$ vuông góc với $y=x$ nên $AB$ nằm trên đường thẳng $d: y=-x+k$.

Hoành độ của $A,B$ là nghiệm của phương trình:

$$\frac{-x+1}{x-2} = k-x \Leftrightarrow  x^2 - (3+k)x + 2k+1 = 0$$

Giả sử $A(a;k-a),B(b;k-b)$. Ta có:

$$AB=4 \Leftrightarrow (a-b)^2=8 \Leftrightarrow k^2 - 2k -3 = 0$$

Ta được $k=-1$ hoặc $k=3$.

Với $k=-1$, ta có hai điểm $(1-\sqrt{2};-2+\sqrt{2}),(1+\sqrt{2};-\sqrt{2})$

Với $k=3$, ta có hai điểm $(3-\sqrt{2};\sqrt{2}),(3+\sqrt{2};-\sqrt{2})$