Đề thi tốt nghiệp THPT môn Toán 2012

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu 1. (3,0 điểm) Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{1}{4}{x^4} - 2{x^2}$
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số đã cho.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ tại điểm có hoành độ ${x_0}$, biết $f''\left( {{x_0}} \right) = - 1$.

Câu 2. (3,0 điểm)
1. Giải phương trình: ${\log _2}\left( {x - 3} \right) + 2{\log _4}3.{\log _3}x = 2$
2. Tính tích phân: $I = \int\limits_0^{\ln 2} {{{\left( {{e^x} - 1} \right)}^2}{e^x}dx}$
3. Tìm các giá trị của tham số $m$ để giá trị nhỏ nhất của hàm số $f \left( x \right) = \frac{{x - {m^2} + m}}{{x + 1}}$ trên đoạn $\left[ {0;1} \right]$ bằng $-2$.

Câu 3. (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ và $BA=BC=a$. Góc giữa đường thẳng $A'B$ với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ bằng ${60^0}$. Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ theo $a$.

II. PHẦN RIÊNG - PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2)

1. Theo chương trình Chuẩn.
Câu 4.a. (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A\left( {2;2;1} \right),\,\,B\left( {0;2;5} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình $2x - y + 5 = 0$.
1. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua $A$ và $B$.
2. Chứng minh rằng $\left( P \right)$ tiếp xúc với mặt cầu có đường kính $AB$.

Câu 5.a. (1,0 điểm) Tìm các số phức $2z + \overline z$ và $\frac{{25i}}{z}$, biết $z=3-4i$.

2. Theo chương trình Nâng cao.
Câu 4.b. (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A\left( {2;1;2} \right)$ và đường thẳng $\Delta$ có phương trình $\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{z}{1}$.
1. Viết phương trình của đường thẳng đi qua $O$ và $A$.
2. Viết phương trình mặt cầu $(S)$ tâm $A$ và đi qua $O$. Chứng minh $\Delta$ tiếp xúc với $(S)$.

Câu 5.b. (1,0 điểm) Tìm các căn bậc hai của số phức $z = \frac{{1 + 9i}}{{1 - i}} - 5i$

-----Hết----