Tìm $\lim \sum \frac{1}{u_k-\beta}$ của dãy $u_{n+1}=au_n^2+bu_n+c$

Bài toán: 
Cho dãy số $(u_n)$ xác định như sau:

$$\left\{\begin{matrix}u_1&=&\alpha\\u_{n+1}&=&au_n^2+bu_n+c, \forall n \geq 1 \end{matrix}\right. ,( a \neq 0)$$
Hãy tìm $\lim \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{u_{k}-\beta}$.

Phân tích:
Ta cần tìm $\gamma$ để $\forall k \geq 1$, ta có:
$$\frac{1}{u_{k}-\beta} = \frac{1}{u_k-\gamma}-\frac{1}{u_{k+1}-\gamma}$$
$$\Leftrightarrow \frac{1}{u_{k+1}-\gamma}=\frac{1}{u_{k}-\gamma}-\frac{1}{u_{k}-\beta}$$
$$\Leftrightarrow u_{k+1}-\gamma = \frac{1}{\gamma-\beta}(u_k-\beta)(u_k-\gamma)$$
$$\Leftrightarrow au_{k}^2 +bu_k+c-\gamma = \frac{1}{\gamma-\beta}(u_k-\beta)(u_k-\gamma)$$
Chọn $\gamma = a\beta^2 +b\beta+c$ ta có lời giải sau:
Giải
Đặt $\gamma = a\beta ^2 + b \beta + c$, ta có
$$u_{n+1} - \gamma = a(u_n-\beta)(u_n-\gamma), \forall n \geq 1, \text{(1)}$$
Giả sử $a(\gamma - \beta) = 1$. Khi đó, nghịch đảo hai vế của $(1)$, $\forall n \geq 1$, ta có:
$$\frac{1}{(u_n-\beta)(u_n-\gamma)}=\frac{a}{u_{n+1}-\gamma }$$
$$\Leftrightarrow \frac{1}{u_n-\gamma}-\frac{1}{u_n-\beta}=\frac{a(\gamma - \beta)}{(u_{n+1}-\gamma) }$$
$$\Leftrightarrow \frac{1}{u_n-\beta} =\frac{1}{u_{n}-\gamma}- \frac{1}{u_{n+1}-\gamma }$$
Do đó:
$$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{u_{k}-\beta} = \frac{1}{\alpha - \gamma} - \frac{1}{u_{n+1}-\gamma}.$$
Nếu dãy $(u_n)$ có giới hạn là vô cực thì giới hạn cần tìm là:
$$\lim\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{u_{k}-\beta} = \frac{1}{\alpha - \gamma}.$$