Tập hơp các điểm mà từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc

Bài toán:

Tìm tập hơp các điểm mà từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau đến $\left ( C \right ):y=\frac{x^2}{x+1}$

Giải

Giả sử $M(a;b)$ là 1 điểm mà từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc đến $\left ( C \right )$.

Đường thẳng $(d)$ đi qua $M$ và có hệ số góc $k$ có phương trình:

$$y = k(x-a)+b$$

Điều kiện cần và đủ để $(d)$ và $\left ( C \right )$ tiếp xúc là

$$\left\{\begin{matrix}k&=&1-\frac{1}{(x+1)^2}\\k(x-a)+b &=&x - 1+ \frac{1}{x+1} \end{matrix}\right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}k&=&1-\frac{1}{(x+1)^2}\\\frac{b+2 - k(a+1)}{2} &=& \frac{1}{x+1} \end{matrix}\right.$$

Từ đó ta có:

$$k=1-\frac{[b+2 - k(a+1)]^2}{4}$$
$$\Leftrightarrow (a+1)^2k^2+2(ab+2a+b)k+b^2+4b=0 \text{    (1)}$$

Ta cần tìm điều kiện của $a,b$ để phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt $k_1,k_2$ sao cho $k_1k_2 = -1$. Điều này tương đương với:

$$\left\{\begin{matrix}(ab+2a+b)^2-(a+1)^2(b^2+4b) &>& 0\\ \frac{b^2+4b}{(a+1)^2} &= &-1 \\ a &\neq& -1 \end{matrix}\right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a^2-(a+1)b &>& 0 \text{    (3)} \\ a^2+b^2+2a+4b+1 &= &0 \text{    (3)}\\ a &\neq& -1 \end{matrix}\right.$$

Dễ thấy $(3)$ là phương trình đường tròn tâm $I(-1;-2)$, bán kính $r = 2$. 

Điều kiện $(2)$, cho ta:

$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}b &>& \frac{a^2}{a+1} \text{ khi } a < 1\\ b &< &\frac{a^2}{a+1}\text{ khi } a > 1\end{matrix}\right.$$

Dựa vào đồ thị, ta dễ dàng thấy điều kiện $(2)$ hoàn toàn được thỏa mãn khi điều kiện $(3)$ và điều kiện $a \neq -1$ được thỏa mãn. 

Vậy quỹ tích cần tìm là đường tròn tâm $I(-1;-2)$ tâm $r=2$ trừ hai điểm $(-1;0)$ và $(-1;-4)$