Bài toán:
Cho hàm số: y=x^{4}-2mx^{2}-3
Tìm m để đồ thị hàm số trên có 3 điểm cực trị và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi các điểm cực trị đó đạt giá trị nhỏ nhất.
(THTT-420)
Giải
Ta có:
y'= 4x^3 - 4mx = 4x(x^2-m)
Điều kiện cần và đủ để hàm số đã cho có 3 điểm cực trị là phương trình y'=0 có đúng 3 nghiệm. Điều này tương đương với:
m > 0, \text{ (1)}
Với điều kiện (1), hàm số có ba điểm cực trị là A(0;-3), B(-\sqrt m; - m^2-3), C(\sqrt m; -m^2-3).
Dễ thấy H(0;-m^2-3) là trung điểm BC. Tam giác HAC vuông tại H nên:
R = \frac{AB^2}{2AH} = \frac{m^4+m}{2m^2}= \frac{m^3+1}{2m}Khảo sát hàm số g(m) = \frac{m^3+1}{2m}, ta có:
g(m) \geq \frac{3}{2\sqrt[3]{4}}, \forall m > 0
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi m=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}
cho e hỏi cái chỗ (m^4+m)/m^2 sao lại = cái vế sau vậy ?