Bán kính ngoại tiếp tam giác cực trị nhỏ nhất.

Bài toán:

Cho hàm số: $y=x^{4}-2mx^{2}-3$

Tìm $m$ để đồ thị hàm số trên có 3 điểm cực trị và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi các điểm cực trị đó đạt giá trị nhỏ nhất.

(THTT-420)

Giải

Ta có:

$$y'= 4x^3 - 4mx = 4x(x^2-m)$$

Điều kiện cần và đủ để hàm số đã cho có 3 điểm cực trị là phương trình $y'=0$ có đúng 3 nghiệm. Điều này tương đương với:

$$m > 0, \text{ (1)}$$

Với điều kiện $(1)$, hàm số có ba điểm cực trị là $A(0;-3), B(-\sqrt m; - m^2-3), C(\sqrt m; -m^2-3)$.

Dễ thấy $H(0;-m^2-3)$ là trung điểm $BC$. Tam giác $HAC$ vuông tại $H$ nên:

$$R = \frac{AB^2}{2AH} = \frac{m^4+m}{2m^2}= \frac{m^3+1}{2m}$$
Khảo sát hàm số $g(m) = \frac{m^3+1}{2m}$, ta có:
$$g(m) \geq \frac{3}{2\sqrt[3]{4}}, \forall m > 0$$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $m=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$