$\lim_{x\to \infty}(\sin x-\sin \sqrt{1+x^2})$

Bài toán: Tính $L=\lim_{x\to \infty}\left(\sin x-\sin \sqrt{1+x^2}\right)$

Giải

Ta có:

$$\begin{align*}L&=\lim_{x\to \infty}\left(\sin x-\sin \sqrt{1+x^2}\right) \\ & =2\lim_{x\to \infty}\cos \frac{x+\sqrt{1+x^2}}{2} \sin \frac{x-\sqrt{1+x^2}}{2} \end{align*}$$

* Trường hợp $x \to +\infty$

Ta có

$$\left |\cos \frac{x+\sqrt{1+x^2}}{2} \sin \frac{x-\sqrt{1+x^2}}{2} \right | \leq \left |\sin \frac{x-\sqrt{1+x^2}}{2} \right |, \forall x$$

mà

$$\begin{align*}\lim_{x\to + \infty}\sin \frac{x-\sqrt{1+x^2}}{2} & = \lim_{x\to + \infty} \sin \frac{-1}{2\sqrt{1+x^2}+2x} \\ & =  \lim_{x\to + \infty}\sin \frac{\frac{-1}{x}}{+2\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+2} \\ & = 0\end{align*}$$

Do đó

$$\lim_{x\to + \infty}(\sin x-\sin \sqrt{1+x^2})=0$$

* Trường hợp $x \to -\infty$

Xét hai dãy số cùng dần tới $-\infty$ là:
$$x_n=\frac{1-4\pi^2n^2}{4\pi n}, \forall n \in \mathbb{N}^*$$
 và
$$x^{'}_n=\frac{1-(2n-1)^2\pi^2}{(2n-1)\pi }, \forall n \in \mathbb{N}^*$$

Ta có:

$$\lim_{x\to - \infty}\cos \frac{x_n+\sqrt{1+x_n^2}}{2} = \lim_{x\to - \infty}\cos \frac{x_n^{'}+\sqrt{1+{x^{'}}_n^2}}{2} = 1$$

$$\lim_{x\to - \infty}\sin \frac{x_n-\sqrt{1+x_n^2}}{2} = 0;\lim_{x\to - \infty}\sin \frac{x_n^{'}-\sqrt{1+{x^{'}}_n^2}}{2} = 1$$

Do đó giới hạn đã cho không tồn tại khi $x\to - \infty$