Câu 1 (4 điểm)
a) Giải phương trình 3 \sqrt[3]{2x-1}-4\sqrt{5-x}+5=0
b) Cho hai số x,y thỏa mãn x^2+4y^2=4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị lớn nhất của:
M=4x^2-3xy+2y^2
Câu 2 (4 điểm)
a) Cho dãy số (x_n) xác định như sau:
\left\{\begin{matrix}x_1 &=&2 \\ x_{n+1}&=&\frac{3x_n}{x_n+2}, \forall n \in \mathbb{N}^*\end{matrix}\right.
Tìm công thức tính x_n theo n.
b) Tìm m để phương trình x^4-4x^2+2m-1=0 có 4 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng.
Câu 3 (4 điểm)
Tính \lim_{n \to +\infty}(-1)^n\sin(\pi\sqrt{n^2+n})
Câu 4 (4 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Ba đường phân giác trong của tam giác cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác, tương ứng tại A',B',C'. Biết diện tích tam giác ABC bằng diện tích tam giác A'B'C'. Tính diện tích tam giác ABC theo R.
Câu 5 (4 điểm)
Cho a,b,c > 0 và ab+bc+ca=1. Chứng minh rằng:
\frac{2a}{1+a^2}+\frac{2b}{1+b^2}+\frac{2c}{1+c^2}\leq \frac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+c^2}}
Câu 1b)
Dễ thấy x,y không đồng thời bằng không. Xét trường hợp y \neq 0. Đặt t =\frac{x}{y}. Ta có:
\frac{M}{4}=\frac{4x^2-3xy+2y^2}{x^2+4y^2}=\frac{4t^2-3t+2}{t^2+4}.
\Leftrightarrow \frac{4t^2-3t+2}{t^2+4}-\frac{M}{4}=0
\Leftrightarrow (16-M)t^2-12t-8-4M=0
Điều kiện cần và đủ để phương trình trên có nghiệm là:
M^2-14M-41 \leq 0
\Leftrightarrow 7 - 3\sqrt{10} \leq M \leq 7 + 3\sqrt{10}
Vậy:
\max M = 7 + 3\sqrt{10}; \min M = 7 - 3\sqrt{10}