Tìm min $A = \sqrt{1+\sin^4x} +\sqrt{2+2 \cos^2x+\cos^4x}$

Bài toán
Tìm giá trị nhỏ nhất của
$$A = \sqrt{1+\sin^4x} +\sqrt{2+2 \cos^2x+\cos^4x}$$

Giải
Ta có:
$$\begin{align*} A\sqrt{2} &= \sqrt{2}\sqrt{2-2cos^2x+\cos^4x} +\sqrt{2}\sqrt{2+2 \cos^2x+\cos^4x} \\&= \sqrt{2}\sqrt{1+(1-\cos^2x)^2} +\sqrt{2}\sqrt{1+(1+\cos^2x)^2}\end{align*}$$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho hai bộ $(1;1),(1;1-\cos^2x)$ ta có:
$$\sqrt{2}\sqrt{1+(1-\cos^2x)^2} \geq 1.1 + 1 - \cos^2x = 2 - \cos^2x$$
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho hai bộ $(1;1),(1;1+\cos^2x)$ ta có:
$$\sqrt{2}\sqrt{1+(1+\cos^2x)^2} \geq 1.1 + 1 + \cos^2x = 2 + \cos^2x$$
Cộng theo vế hai BĐT trên, ta có:
$$A\sqrt{2} \geq 4 \Leftrightarrow A \geq 2\sqrt{2}$$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
$$\cos^2x = 0 \Leftrightarrow x =\frac{\pi}{2}+k\pi, k \in \mathbb{Z}$$

Vậy
$$\min A = 2\sqrt{2} \Leftrightarrow x =\frac{\pi}{2}+k\pi, k \in \mathbb{Z}$$