Bài toán 1
Xem Trái Đất như một khối cầu tâm O.
Điểm S có tọa độ 11^o vĩ Bắc, 106^o30' kinh Đông.
Điểm P có tọa độ 49^o vĩ Bắc, 2^o30' kinh Đông.
Tính số đo góc \widehat{POS} ?
Giải
Phương trình tham số của mặt cầu Trái Đất là:
\begin{cases}x=R\cos \varphi \cos \lambda \\ y = R\cos \varphi \sin \lambda \\ z = R \sin \varphi \end{cases}
Trong đó \varphi là vĩ độ (mang dấu dương khi điểm đang xét ở Bán cầu Bắc, mang dấu âm khi ở Bán cầu Nam), \lambda là kinh độ (mang dấu dương khi ở Bán cầu Đông, dấu âm khi ở Bán cầu Tây)
Ta có tọa độ của S,P là
S(R\cos \varphi_S \cos \lambda_S ; R\cos \varphi_S \sin \lambda_S ; R \sin \varphi_S), \quad P(R\cos \varphi_P \cos \lambda_P ; R\cos \varphi_P \sin \lambda_P ; R \sin \varphi_P)
\overrightarrow{OP}.\overrightarrow{OS}=R^2 \left [ \cos \varphi_P \cos \varphi_S \cos (\lambda_P - \lambda_S) +\sin \varphi_P\sin \varphi_S \right ]
\begin{equation} \label{eq:1} \boxed{\cos \left ( \overrightarrow{OP}, \overrightarrow{OS} \right ) = \frac{\overrightarrow{OP}. \overrightarrow{OS}}{OP.OS} = \cos \varphi_P \cos \varphi_S \cos (\lambda_P - \lambda_S) +\sin \varphi_P\sin \varphi_S} \end{equation}
Theo bài, \varphi_S = 11^o, \lambda_S = 106,5^o, \varphi_P=49^o, \lambda_P=2,5^o, ta có:
\cos \left ( \overrightarrow{OP}, \overrightarrow{OS} \right ) = \cos 49^o \cos 11^o \cos 104^o + \sin 11^o \sin 49^o \approx -0,01179
Vậy \widehat{POS} \approx 90^o40’32’’
Bài toán 2
Tính diện tích phần bề mặt Trái Đất giới hạn bởi các vĩ tuyến 11^o Bắc, 49^o Bắc và các kinh tuyến 2^o30' Đông, 106^o30' Đông ?
Giải
Trước hết ta tìm công thức tính diện tích phần mặt cầu giới hạn bởi hai đường vĩ tuyến. (Người ta gọi là hình đớt cầu)
Dễ thấy hình đớt cầu là mặt tròn xoay có được nhờ quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau xung quanh trục Ox:
y=\sqrt{R^2-x^2} \quad \text{(nửa đường tròn tâm O phía trên trục hoành)}, \quad x = a, x = b, \quad (0<a<b \leq R)
Áp dụng công thức:
S = 2\pi\int_{a}^{b}y\sqrt{1+(y')^2}dx
Ta có:
\begin{equation} \label{eq:2} S_{(R,a,b)}=2\pi\int_{a}^{b}\sqrt{R^2-x^2}\sqrt{1+\frac{x^2}{R^2-x^2}}dx = 2\pi\int_{a}^{b}Rdx = 2\pi R (b-a) \end{equation}
Quay lại với Trái đất, Diện tích hình đớt cầu giới hạn bởi hai đường vĩ tuyến \varphi_1 và \varphi_2, (\varphi_1 < \varphi_2). Ta lấy a=R\sin \varphi_1, b = R\sin \varphi_2. Ta được
S_{(R,\sin \varphi_1,\sin \varphi_2)}=2\pi R^2 (\sin \varphi_2- \sin \varphi_1)
Gọi S_{(\varphi_1; \varphi_2; \lambda_1; \lambda_2)} là diện tích cần tìm. Dễ thấy đó là diện tích phần phần đớt cầu giới hạn bởi hai kinh tuyến \lambda_1 và \lambda_2. Ta có:
\begin{equation} \label{eq:3} \boxed{ S_{(\varphi_1; \varphi_2; \lambda_1; \lambda_2)}=\frac{|\lambda_2-\lambda_1|}{360} \times 2\pi R^2 (\sin \varphi_2- \sin \varphi_1) } \end{equation}
Lấy R=6370 km, \varphi_1 = 11^o, \varphi_2=49^o, \lambda_1 = 2^o30', \lambda_2 = 106^o30', ta có S\approx 41 \ 532 \ 886,63 km^2
Bài toán 3
Điểm A có tọa độ \varphi _A=11^o ; \lambda _A=2^o30' (11^o vĩ Bắc, 2^o30' kinh Đông)
Điểm B có tọa độ \varphi _B=49^o ; \lambda _B=106^o30' (49^o vĩ Bắc, 106^o30' kinh Đông)
Giả sử trên bề mặt Trái Đất, người ta nối 2 thành phố A và B bằng 1 đường ngắn nhất (gọi là đường (L))
Tính diện tích bề mặt Trái Đất giới hạn bởi đường (L), các đường kinh tuyến đi qua A và B và đường xích đạo ?
Giải
1) Diện tích cần tìm là
S_{ABCD}=S_{CPD} - S_{PAB}
Trong đó P là điểm cực Bắc. C,D lần lượt là giao điểm của kinh tuyến \lambda_B, \lambda_A với đường xích đạo.
2) Để tính S_{PAB}. Ta cần đi tìm công thức tính diện tích tam giác trên mặt cầu.
Định nghĩa:
Tam giác cầu ABC là Tam giác nằm trên trên mặt cầu, các đường cong đi qua AB, BC, CA là các đường tròn lớn của mặt cầu.
Kí hiệu A là góc giữa hai mặt phẳng (AOB) và (AOC).
A đo bằng radian.
Khi đó gọi S_A là diện tích phần mặt cầu giới hạn bởi hai mặt phẳng (OAB) và (OAC) (phần tô vàng)
Gọi S là diện tích mặt cầu tâm O bán kính R,
S=4\pi R^2.
Ta có:
S_A = 2 \times \frac{S}{2 \pi}\times A = 4A\times R^2
3) Ta chứng minh định lý Girard:
Nếu ABC là một tam giác cầu thì Diện tích tam giác ABC được tính bằng công thức:
\begin{equation} \label{eq:4} \boxed{S_{ABC} = R^2(A+B+C-\pi)} \end{equation}
Thật vậy, Tam giác ABC và tam giác DEF (là hai tam giác bằng nhau) giúp ta chia mặt cầu thành các phần dưới đây:
Gọi S_{2}, S_3, S_4 lần lượt là diện tích các phần (2), (3), (4).
Dễ thấy: các phần (2), (3), (4) phủ kín mặt cầu và tam giác ABC được đếm lặp 6 lần. Tức là thừa 4 lần. Do đó:
\begin{align*} & S = S_2+S_3+S_4-4S_{ABC} \\ \iff & 4\pi R^2 = 4A.R^2+4B.R^2+4C.R^2 – 4S_{ABC} \\ \iff & S_{ABC} = (A+B+C-\pi)R^2 \quad \text{(đpcm)}\end{align*}
4) Bây giờ cần tìm các góc A, B, P của tam giác PAB.
Dễ thấy P = |\lambda_A - \lambda_B| = 104^o = \frac{26\pi}{45}
5) Để tính được các góc A,B, ta cần đi chứng minh Định lý cosin thứ nhất.
Định lý cosin thứ nhất.
Cho tam giác cầu ABC nằm trên mặt cầu đơn vị (bán kính bằng 1). Đặt a=\widehat{BOC}, b= \widehat{AOC}, c= \widehat{AOB}. Khi đó:
\begin{equation} \label{eq:5} \boxed{\cos A = \dfrac{\cos a - \cos b \cos c}{\sin b \sin c}} \end{equation}
Chứng minh:
Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho A \in Oz, B \in (xOz).
Khi đó:
A(0;0;1), \quad B(\sin c; 0; \cos c), \quad C(\sin b \cos A; \sin b \sin A; \cos b)
Khi đó
\cos a = \overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC} = \sin c \sin b \cos A + \cos c \cos b
Do đó ta có đpcm.
6) Đối với tam giác PAB, ta có b =90^o - \varphi_A =79^o, a= 90^o-\varphi_B = 41^o.
Áp dụng công thức \eqref{eq:1}, ta thu được
p = \widehat{AOB} \approx 90^o40’32’’
Áp dụng định lý cosin thứ nhất cho tam giác PAB ta có:
\cos A = \dfrac{\cos a - \cos b \cos p}{\sin b \sin p} \approx 0,771180674
Suy ra A \approx 0,690 102 644 3 \quad (rad)
\cos B = \dfrac{\cos b - \cos a \cos p}{\sin a \sin p} \approx 0,3044256591
Suy ra B \approx 1,261 460 915 \quad (rad)
Áp dụng định lý định lý Girard ta có:
S_{PAB} = (P+A+B- \pi)R^2
Do đó
S_{ABCD}=S_{CPD} - S_{PAB} = P.R^2 - (P+A+B- \pi)R^2 = (\pi – A – B )R^2 \approx 48 \ 287 \ 691,56 \ km^2
(Quái lạ, sao nó có vẻ không đúng lắm so với Google Earth)
Lấy R=6371 thì sẽ được S \approx 48 \ 302 \ 853. 72 \ km^2
(kết quả này gần với thực tế hơn.
0 comments:
Đăng nhận xét