Tìm min $x^4+y^4+z^4$

  

Mình là một con gà Bất đẳng thức. Cho nên, kể từ hôm nay, mình bắt đầu tự học Bất đằng thức để nâng cao trình độ. Bắt đầu từ bài toán sau:

Bài 1.

Cho các số thực dương $x, y, z$ thỏa mãn $xy+yz+xz=75$. Tìm min của $A=x^4+y^4+z^4$ .

Ta đoán là sẽ dùng được BĐT AM-GM nên ta tìm giá trị của $x,y,z$ khi các số này bằng nhau: Ta có: $75:3=25;\sqrt{25}=5$.

Áp dụng BĐT AM-GM cho bốn số: $x^4;y^4;5^4;5^4$ ta có:

$$x^4+y^4+5^4+5^4 \geq 4\sqrt[4]{x^4.y^4.25^4}=100xy \ \ \ (1)$$

Tương tự, ta có

$$y^4+z^4+5^4+5^4 \geq 4\sqrt[4]{y^4.z^4.25^4}=100yz \ \ \ (2)$$

$$x^4+z^4+5^4+5^4 \geq 4\sqrt[4]{x^4.z^4.25^4}=100xz \ \ \ (3)$$

Cộng theo vế các bất đẳng thức $(1),(2),(3)$, ta có:

$$2(x^4+y^4+z^4)+ 6.5^4 \geq 100(xy+yz+zx)$$

Từ đó

$$x^4+y^4+z^4 \geq 1875$$

Vậy $min A = 1875$ khi và chỉ khi $x=y=z=5$

Từ bài toán, ta có Bất đẳng thức:

$ x^4+y^4+z^4 \geq 75(xy+yz+zx)$

Tổng quát, ta sẽ tìm một đánh giá giữa $x^n+y^n+z^n$ và $xy+yz+zx$