a) Giải phương trình sau: cos^4x+2sin^6x=cos2x
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m đề phương trình sau có nghiệm:
sinx – cos2x + m- 5=0
Câu 2. Cho dãy số (u_n) xác định như sau:
\left\{ \begin{array}{l} {u_0} = 1;{u_1} = 2\\ {u_{n + 1}} = \frac{{{u_n} + 2{u_{n - 1}}}}{3},\forall n \geq 1 \end{array} \right.
Tìm u_n
Câu 3
a) Chứng minh rằng, với các số a,b,c dương thì:
\frac{{{a^2}}}{{a + b}} + \frac{{{b^2}}}{{b + c}} + \frac{{{c^2}}}{{c + a}} \geq \frac{{a + b + c}}{2}
b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A=\frac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}
Câu 4
Cho tứ diện đều ABCD có O là trung điểm đoạn thẳng nối O và trọng tâm tam giác BCD. Chứng minh các đường thẳng OB,OC,OD đôi một vuông góc với nhau.
Câu 5
Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng
(AB+CD)^2<(AC+BD)^2+(AD+BC)^2
Câu 3b)
ĐK: x^2+y^2 >0
Ta tìm cực trị của A bằng phương pháp miền giá trị.
A=\frac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}
\Leftrightarrow \frac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}-A=0
\Leftrightarrow (1-A)x^2-(1+A)xy+(1-A)y^2=0
Do x,y không đồng thời bằng 0 nên ta giả sử y \neq 0
\begin{equation}\Leftrightarrow (1-A)\left ( \frac{x}{y} \right )^2-(1+A)\frac{x}{y}+(1-A)=0 \label{eq:pt1} \end{equation}
Điều kiện cần và đủ để PT \ref{eq:pt1} có nghiệm là:
\begin{align*}& (1+A)^2-4(1-A)^2 \geq 0 \\ \Leftrightarrow & A^3-10A+3 \leq 0 \\ \Leftrightarrow & \frac{1}{3} \leq A \leq 3 \end{align*}
Vậy
\max A = 3 \Leftrightarrow x=y
\min A = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x=-y