a) Giải phương trình sau: $cos^4x+2sin^6x=cos2x$
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ đề phương trình sau có nghiệm:
$$sinx – cos2x + m- 5=0$$
Câu 2. Cho dãy số $(u_n)$ xác định như sau:
$$\left\{ \begin{array}{l} {u_0} = 1;{u_1} = 2\\ {u_{n + 1}} = \frac{{{u_n} + 2{u_{n - 1}}}}{3},\forall n \geq 1 \end{array} \right.$$
Tìm $u_n$
Câu 3
a) Chứng minh rằng, với các số $a,b,c$ dương thì:
$$\frac{{{a^2}}}{{a + b}} + \frac{{{b^2}}}{{b + c}} + \frac{{{c^2}}}{{c + a}} \geq \frac{{a + b + c}}{2}$$
b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$A=\frac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}$$
Câu 4
Cho tứ diện đều $ABCD$ có $O$ là trung điểm đoạn thẳng nối $O$ và trọng tâm tam giác $BCD$. Chứng minh các đường thẳng $OB,OC,OD$ đôi một vuông góc với nhau.
Câu 5
Cho tứ diện $ABCD$. Chứng minh rằng
$$(AB+CD)^2<(AC+BD)^2+(AD+BC)^2$$
Câu 3b)
ĐK: $x^2+y^2 >0$
Ta tìm cực trị của $A$ bằng phương pháp miền giá trị.
$$A=\frac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}$$
$$\Leftrightarrow \frac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}-A=0$$
$$\Leftrightarrow (1-A)x^2-(1+A)xy+(1-A)y^2=0 $$
Do $x,y$ không đồng thời bằng $0$ nên ta giả sử $y \neq 0$
\begin{equation}\Leftrightarrow (1-A)\left ( \frac{x}{y} \right )^2-(1+A)\frac{x}{y}+(1-A)=0 \label{eq:pt1} \end{equation}
Điều kiện cần và đủ để PT \ref{eq:pt1} có nghiệm là:
\begin{align*}& (1+A)^2-4(1-A)^2 \geq 0 \\
\Leftrightarrow & A^3-10A+3 \leq 0 \\
\Leftrightarrow & \frac{1}{3} \leq A \leq 3 \end{align*}
Vậy
$$\max A = 3 \Leftrightarrow x=y$$
$$\min A = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x=-y$$