Đề thi HSG lớp 11 tỉnh Lạng Sơn năm học 2006 – 2007

Bài 1

Cho cấp số nhân $u_1,u_2,…,u_n$, có $u_1>0$ và công bội $q>0,q \neq 1$. Biết rằng:

$$u_1+u_2+…+u_n=a; \frac{1}{u_1}+ \frac{1}{u_2}+ … + \frac{1}{u_n}=b$$

Chứng minh:

$$u_1.u_2…u_n=\sqrt{\frac{a^n}{b^n}}$$

Bài 2.

Gọi $R,r,A,B,C$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp và các góc của tam giác $ABC$. Chứng minh rằng:

$$R(sin2A+sin2B+sin2C)=2r(sinA+sinB+sinC)$$

Bài 3

Xét tính liên tục của hàm số

$$f(x) = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{x}{{1 + {{(2\sin x)}^{2n}}}},n \in N$$

Bài 4

Giả sử các góc $\alpha,\beta,\gamma$ thỏa mãn

$$|sin\alpha+sin\beta+sin\gamma|\geq 2$$

Chứng minh rằng

$$|cos\alpha+sin\beta+sin\gamma|\geq 2$$

Bài 5

Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$ cạnh $a$ có $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $B’C’$. Vẽ đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng $AN$ và $DM$. Tính độ dài đoạn vuông góc chung