Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = a(x^2+y^2) + z^2$

Bài toán:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$$P = a(x^2+y^2) + z^2$$
với $a > 0$ và $x,y,z$ thỏa mãn:
$$xy+yz+zx=1$$

Giải
Chọn $b$ tùy ý thỏa mãn $0 < b < a$. Ta có:
$$bx^2+\frac{z^2}{2} \geq 2\sqrt{\frac{b}{2}}xy$$
$$by^2+\frac{z^2}{2} \geq 2\sqrt{\frac{b}{2}}yz$$
$$\sqrt{\frac{b}{2}}(x^2+y^2) \geq 2\sqrt{\frac{b}{2}}xy$$
Cộng theo vế ba BĐT trên, ta có:
$$\left ( b + \sqrt{\frac{b}{2}} \right ) (x^2+y^2) + z^2 \geq 2 \sqrt{\frac{b}{2}}$$
Ta chọn $b$ sao cho:
$$b + \sqrt{\frac{b}{2}}= a \Leftrightarrow b = \frac{4a+1-\sqrt{8a+1}}{4}$$
Ta có:
$$P \geq \frac{\sqrt{8a+1}-1}{2}$$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
$$\left\{\begin{matrix} \sqrt{b}x = \frac{z}{\sqrt2}\\ \sqrt{b}y = \frac{z}{\sqrt2} \\ xy+yz+zx = 1\end{matrix}\right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=y=\frac{1}{\sqrt[4]{8a+1}}\\z =  \frac{\sqrt{8a+1}-1}{4\sqrt[4]{8a+1}} \end{matrix}\right. \vee \left\{\begin{matrix}x=y=-\frac{1}{\sqrt[4]{8a+1}}\\z =  -\frac{\sqrt{8a+1}-1}{4\sqrt[4]{8a+1}} \end{matrix}\right.$$