Tìm min, max $P=\frac{x^4+y^4}{2xy+1}$

Bài toán
Với mọi số thực $x,y$ thỏa mãn $2(x^2+y^2)=xy+1$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của:
$$P=\frac{x^4+y^4}{2xy+1}$$

Giải

Từ giả thiết suy ra:
$$4(x^4+y^4)=-7x^2y^2+2xy+1$$
Và
$$1+xy = 2(x^2+y^2) \geq 4 |xy| \Rightarrow -\frac{1}{5} \leq xy \leq \frac{1}{3}$$
Do đó:
$$P=\frac{1}{4}.\frac{4(x^4+y^4)}{2xy+1}=\frac{1}{4}.\frac{-7x^2y^2+2xy+1}{2xy+1}$$

Đặt $t=xy$, ta có:
$$P=\frac{-7t^2+2t+1}{8t+4} \text{(1)}$$

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số $(1)$ trên đoạn $\left [ -\frac{1}{5};\frac{1}{3} \right ]$

Bài tập
Cho $x^2+y^2-xy=1$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của:
$$M=x^4+y^4-x^2y^2$$