Tìm max $P=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$

Thứ Tư, 30 tháng 9, 2015

Bài tập
Cho 3 số thực $x,y,z$ khác 0 và thỏa mãn: $x+y+z=5$ và $xyz=4 $
Tìm giá trị lớn nhất của
$$P=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$$


Giải
Ta có:
$$P = \frac{xy+yz+zx}{xyz} =\frac{xy+yz+zx}{4} $$
Đặt $m=xy+yz+zx$. Khi đó, $x,y,z$ là các nghiệm của phương trình:
$$x^3-5x^2+mx-4=0 \quad \quad \quad (1)$$
Bài toán trở thành tìm điều kiện của $m$ để phương trình $(1)$ có 3 nghiệm (không nhất thiết phân biệt).

Vì $x \neq 0$ nên ta có: 
$$(1) \Leftrightarrow m = \frac{-x^3+5x^2+4}{x}$$
Xét hàm số $f(x)= \frac{-x^3+5x^2+4}{x}$ trên $\mathbb{R} \setminus \{ 0 \}$. Ta có:
$$f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2 \\ x = x_1 < 0 \\x=x_2 \in (0;2)   \end{array} \right.$$
Lập bảng biến thiên của hàm số $f(x)$. 

Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra $m \leq f(2) = 8$
Vậy $\max P = 4 $. Dấu "$=$" xảy ra tại $(2;2;1) $ và các hoán vị.

0 comments:

Đăng nhận xét

 
Copyright © 2012 Hoàng Ngọc Thế. All rights reserved. Ghi rõ nguồn Hoàng Ngọc Thế khi phát hành lại thông tin trên trang này.