Tìm max $P=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$

Bài tập
Cho 3 số thực $x,y,z$ khác 0 và thỏa mãn: $x+y+z=5$ và $xyz=4$
Tìm giá trị lớn nhất của
$$P=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$$

Giải

Ta có:

$$P = \frac{xy+yz+zx}{xyz} =\frac{xy+yz+zx}{4}$$

Đặt $m=xy+yz+zx$. Khi đó, $x,y,z$ là các nghiệm của phương trình:

$$x^3-5x^2+mx-4=0 \quad \quad \quad (1)$$

Bài toán trở thành tìm điều kiện của $m$ để phương trình $(1)$ có 3 nghiệm (không nhất thiết phân biệt).

Vì $x \neq 0$ nên ta có: 

$$(1) \Leftrightarrow m = \frac{-x^3+5x^2+4}{x}$$

Xét hàm số $f(x)= \frac{-x^3+5x^2+4}{x}$ trên $\mathbb{R} \setminus \{ 0 \}$. Ta có:

$$f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2 \\ x = x_1 < 0 \\x=x_2 \in (0;2)   \end{array} \right.$$

Lập bảng biến thiên của hàm số $f(x)$. 

Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra $m \leq f(2) = 8$

Vậy $\max P = 4$. Dấu "$=$" xảy ra tại $(2;2;1)$ và các hoán vị.