$\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}} \leq \sqrt[3]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8}}$

Bài toán:
Cho $a,b,c$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng:
$$\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}} \leq \sqrt[3]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8}}$$

Lời giải.
Đặt $\begin{cases}a+b+c=p \\ ab+bc+ca=q \\abc=r\end{cases}$.
Khi đó ta có:
$$p^2 \geq 3q \quad \quad \quad (1)$$
$$q =ab+bc+ca \geq 3\sqrt[3]{(abc)^2} = 3\sqrt[3]{r^2}$$
Suy ra:
$$-r \geq -\sqrt{\left( \frac{q}{3} \right)^3} \quad \quad (2)$$
Bất đẳng thức đã cho trở thành:
$$\sqrt{\frac{q}{3}} \leq \sqrt[3]{\frac{pq-r}{8}}$$

$$\Leftrightarrow pq - r \geq 8\sqrt{\left( \frac{q}{3}\right)^3}$$ Kết hợp với $(2)$, ta cần chứng minh:

$$pq  \geq 9 \sqrt{\left( \frac{q}{3}\right)^3}$$
$$\Leftrightarrow p^2q^2 - 3q^3 \geq 0$$
$$\Leftrightarrow q^2(p^2 - 3q) \geq 0$$
Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng do $(1)$.
Vậy BĐT đã cho đúng.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$