Tìm max $P=2x+4y+5\sqrt{z}$

Bài toán:

Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=169$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$$P=2x+4y+5\sqrt{z}$$

Giải

Áp dụng BĐT Cauchy-Schawrz, ta có:

$$P=2x+4y+\frac{25}{3}\sqrt{z}\leq \sqrt{20}.\sqrt{169-z^2}+\frac{25}{3}\sqrt{z} = f(z)$$ .

Xét hàm số $f(z) = \sqrt{20}.\sqrt{169-z^2}+\frac{25}{3}\sqrt{z}$ liên tục trong $[0;13]$, ta có:

$$f'(z) = \frac{z\sqrt{20}}{\sqrt{169-z^2}}-\frac{25}{6\sqrt{z}}; \quad f'(z)=0 \Leftrightarrow z = 5 \in [0;13]$$

Hơn nữa:

$$f(0)=26\sqrt{5};\quad  f(5)=\frac{97\sqrt{5}}{3}; \quad f(13)=\frac{25\sqrt{13}}{3}$$

$$P \leq f(z) \leq \max_{0;13]}f(z)= f(5)$$

Vậy

$$\max P = \frac{97\sqrt{5}}{3} \Leftrightarrow  \begin{cases} x=\frac{12}{\sqrt{5}} \\ y=\frac{24}{\sqrt{5}} \\ z=5 \end{cases}$$