Bài toán:
Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=169$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$$P=2x+4y+5\sqrt{z}$$
Giải
Áp dụng BĐT Cauchy-Schawrz, ta có:
$$P=2x+4y+\frac{25}{3}\sqrt{z}\leq \sqrt{20}.\sqrt{169-z^2}+\frac{25}{3}\sqrt{z} = f(z)$$.
Xét hàm số $f(z) = \sqrt{20}.\sqrt{169-z^2}+\frac{25}{3}\sqrt{z} $ liên tục trong $[0;13]$, ta có:
$$f'(z) = \frac{z\sqrt{20}}{\sqrt{169-z^2}}-\frac{25}{6\sqrt{z}}; \quad f'(z)=0 \Leftrightarrow z = 5 \in [0;13]$$
Hơn nữa:
$$f(0)=26\sqrt{5};\quad f(5)=\frac{97\sqrt{5}}{3}; \quad f(13)=\frac{25\sqrt{13}}{3}$$
$$P \leq f(z) \leq \max_{0;13]}f(z)= f(5)$$
Vậy
$$\max P = \frac{97\sqrt{5}}{3} \Leftrightarrow \begin{cases} x=\frac{12}{\sqrt{5}} \\ y=\frac{24}{\sqrt{5}} \\ z=5 \end{cases}$$
0 comments:
Đăng nhận xét