Processing math: 100%

\frac{x+1}{y}+\frac{y+1}{z}+\frac{z+1}{x} \leq 6

Thứ Bảy, 5 tháng 3, 2016

Bài toán:
Cho ba số x, y, z \in [1;2]. Chứng minh rằng:
\frac{x+1}{y}+\frac{y+1}{z}+\frac{z+1}{x} \leq 6 \quad \quad (1)


Giải

Giả sử x = \max \{x, y, z \}. Vì x,y,z \in [1;2] nên ta có: 
y \leq x \leq 2y, \quad z \leq x \leq 2z 
Mặt khác
(1) \iff zx^2+ (y^2+y-6zy+z)x+yz(z+1) \leq 0
Đặt 
f(x) = zx^2+ (y^2+y-6zy+z)x+yz(z+1) \quad \quad (2)
Dễ thấy (2) là tam thức bậc hai ẩn x có hệ số a dương. Để chứng minh (1), ta chỉ cần chứng minh:
\begin{cases} f(y) &\leq 0 \\ f(2y) &\leq 0 \\ f(z) &\leq 0 \\ f(2z) &\leq 0 \end{cases}
* Ta có:
f(y) = y \left( y^2 + (1-5z)y+2z+z^2 \right) = y.g(y)
Dễ thấy g(y) là tam thức bậc hai có hệ số a dương và
\begin{cases} g(1) = z^2 - 3z + 2 \leq 0, \forall z \in [1;2]\\ g(2) = z^2 - 8z + 6 < 0, \forall z \in [1;2] \end{cases}
Do đó:  f(y) = yg(y) \leq 0, \quad z, y \in [1;2]
* Tương tự:
f(2y) = y \left( 2y^2 + (2-8z)y+3z+z^2 \right) \leq 0, \quad z, y \in  [1;2]
 * Ta cũng có: f(z) \leq 0, \quad f(2z) \leq 0Do đó, ta có điều phải chứng minh.
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1.

0 comments:

Đăng nhận xét

 
Copyright © 2012 Hoàng Ngọc Thế. All rights reserved. Ghi rõ nguồn Hoàng Ngọc Thế khi phát hành lại thông tin trên trang này.