$\frac{x+1}{y}+\frac{y+1}{z}+\frac{z+1}{x} \leq 6$

Bài toán:
Cho ba số $x, y, z \in [1;2]$. Chứng minh rằng:
$$\frac{x+1}{y}+\frac{y+1}{z}+\frac{z+1}{x} \leq 6 \quad \quad (1)$$

Giải
Giả sử $x = \max \{x, y, z \}$. Vì $x,y,z \in [1;2]$ nên ta có: 
$$y \leq x \leq 2y, \quad z \leq x \leq 2z$$  
Mặt khác
$$(1) \iff zx^2+ (y^2+y-6zy+z)x+yz(z+1) \leq 0$$
Đặt 
$$f(x) = zx^2+ (y^2+y-6zy+z)x+yz(z+1) \quad \quad (2)$$
Dễ thấy $(2)$ là tam thức bậc hai ẩn $x$ có hệ số $a$ dương. Để chứng minh $(1)$, ta chỉ cần chứng minh:
$$\begin{cases} f(y) &\leq 0 \\ f(2y) &\leq 0 \\ f(z) &\leq 0 \\ f(2z) &\leq 0 \end{cases}$$
* Ta có:
$$f(y) = y \left( y^2 + (1-5z)y+2z+z^2 \right) = y.g(y)$$
Dễ thấy $g(y)$ là tam thức bậc hai có hệ số $a$ dương và
$$\begin{cases} g(1) = z^2 - 3z + 2 \leq 0, \forall z \in [1;2]\\ g(2) = z^2 - 8z + 6 < 0, \forall z \in [1;2] \end{cases}$$
Do đó:  $f(y) = yg(y) \leq 0, \quad z, y \in [1;2]$
* Tương tự:
$$f(2y) = y \left( 2y^2 + (2-8z)y+3z+z^2 \right) \leq 0, \quad z, y \in  [1;2]$$
 * Ta cũng có: $f(z) \leq 0, \quad f(2z) \leq 0$Do đó, ta có điều phải chứng minh.
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$.