Tìm min $P=\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}$

Bài toán

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn 

$$21ab+2bc+8ca\leq 12$$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

$$P=\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}$$

Lời giải (Ngoc Hung)

Đặt $a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}$. Khi đó điều kiện bài toán là

$$\begin{cases}x,y,z> 0 \\ 2x+8y+21z\leq 12xyz \end{cases}$$

Ta đi tìm GTNN của $P=x+2y+3z$. 

Ta có:

$$2x+8y+21z  \leq 12xyz  \Rightarrow 3z\geq \frac{2x+8y}{4xy-7}$$

Do đó

$$\begin{align*} P & \geq x+2y+\frac{2x+8y}{4xy-7} \\ & =x+\frac{11}{2x}+\frac{1}{2x}\left [ (4xy-7)+\frac{4x^{2}+28}{4xy-7} \right ] \\ & \geq x+\frac{11}{2x}+\frac{1}{x}\sqrt{4x^{2}+28} \\ & =x+\frac{11}{2x}+\frac{3}{2}\sqrt{\left ( 1+\frac{7}{9} \right )\left ( 1+\frac{7}{x^{2}} \right )} \\ & \geq x+\frac{11}{2x}+\frac{3}{2}\left ( 1+\frac{7}{3x} \right ) \\ & =x+\frac{9}{x}+\frac{3}{2}\geq 6+\frac{3}{2} \\ &=\frac{15}{2} \end{align*}$$

Dấu "$=$" xảy ra khi và chỉ khi:

$$\begin{cases} (4xy-7)^2 = 4x^2+28 \\ 1 = \frac{x^2}{9} \\ 3z = \frac{2x+8y}{4xy-7} \end{cases} \Leftrightarrow  \begin{cases} x=3\\ y=\frac{5}{4} \\ z = \frac{2}{3} \end{cases}   \Leftrightarrow  \begin{cases} a=\frac{1}{3}\\ y=\frac{4}{5} \\ z = \frac{3}{2} \end{cases}$$