Câu 1 (4 điểm)
a) Giải phương trình $3 \sqrt[3]{2x-1}-4\sqrt{5-x}+5=0$
b) Cho hai số $x,y$ thỏa mãn $x^2+4y^2=4$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị lớn nhất của:
$$M=4x^2-3xy+2y^2$$
Câu 2 (4 điểm)
a) Cho dãy số $(x_n)$ xác định như sau:
$$\left\{\begin{matrix}x_1 &=&2 \\ x_{n+1}&=&\frac{3x_n}{x_n+2}, \forall n \in \mathbb{N}^*\end{matrix}\right.$$
Tìm công thức tính $x_n$ theo $n$.
b) Tìm $m$ để phương trình $x^4-4x^2+2m-1=0$ có $4$ nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng.
Câu 3 (4 điểm)
Tính $\lim_{n \to +\infty}(-1)^n\sin(\pi\sqrt{n^2+n})$
Câu 4 (4 điểm)
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O;R)$. Ba đường phân giác trong của tam giác cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác, tương ứng tại $A',B',C'$. Biết diện tích tam giác $ABC$ bằng diện tích tam giác $A'B'C'$. Tính diện tích tam giác $ABC$ theo $R$.
Câu 5 (4 điểm)
Cho $a,b,c > 0$ và $ab+bc+ca=1$. Chứng minh rằng:
$$\frac{2a}{1+a^2}+\frac{2b}{1+b^2}+\frac{2c}{1+c^2}\leq \frac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+c^2}}$$
Câu 1b)
Dễ thấy $x,y$ không đồng thời bằng không. Xét trường hợp $y \neq 0$. Đặt $t =\frac{x}{y}$. Ta có:
$$\frac{M}{4}=\frac{4x^2-3xy+2y^2}{x^2+4y^2}=\frac{4t^2-3t+2}{t^2+4}. $$
$$\Leftrightarrow \frac{4t^2-3t+2}{t^2+4}-\frac{M}{4}=0 $$
$$\Leftrightarrow (16-M)t^2-12t-8-4M=0 $$
Điều kiện cần và đủ để phương trình trên có nghiệm là:
$$M^2-14M-41 \leq 0$$
$$\Leftrightarrow 7 - 3\sqrt{10} \leq M \leq 7 + 3\sqrt{10} $$
Vậy:
$$\max M = 7 + 3\sqrt{10}; \min M = 7 - 3\sqrt{10}$$