Tìm $M \in (P)$ sao cho $f(M)$ nhỏ nhất

Bài toán 1. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P) : 2x - y + 2z + 9 = 0$ và hai điểm điểm $A(3,-1,2) , B(1,-5,0)$. Tìm $M$ thuộc $(P)$ sao cho $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}$ đạt giá trị nhỏ nhất,

Giải

Giả sử $M(x;y;z)$. Khi đó:

$$\overrightarrow{MA}=(3-x;-1-y;2-z);\overrightarrow{MB}=(1-x;-5-y;-z)$$

Do đó:

$$T=\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}= x^2+y^2+z^2-4x+6y-2z+8$$

Vì $M \in (P)$ nên:

$$8x-4y+8z+36=0$$

Từ đó:

$$\begin{align*}T&=x^2+y^2+z^2 -4x+6y-2z+8 + 8x-4y+8z+36 \\&= (x+2)^2+(y+1)^2+(z+3)^2+22 \geq 22\end{align*}$$

Vậy
$$min T = 22 \Leftrightarrow M(-2;-1;-3)$$

Bài toán 2
Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x+y+z-4=0$ và hai điểm $A(1;2;1),B(0;1;2)$. Tìm điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(P)$ sao cho $MA^2+3MB^2$ nhỏ nhất.
Giải
Giả sử $M(x;y;z)$. Khi đó, ta có:
$$MA^2+3MB^2 = 4x^2 + 4y^2 + 4z^2 - 2x - 10y - 14z + 21$$
Vì $M \in (P)$ nên
$$-2x-2y-2z+8=0$$
Do đó:
$$\begin{align*}MA^2+3MB^2 &= 4x^2 + 4y^2 + 4z^2 - 4x - 12y - 16z + 29 \\&=4\left ( x^2+y^2+z^2-x - 3y - 4z + \frac{29}{4} \right )\\&=4\left [ \left (x-\frac{1}{2}^2 \right )^2+\left (y-\frac{3}{2} \right )^2+\left (z-2\right )^2 + \frac{3}{4} \right ]\\& \geq 3 \end{align*}$$

Vậy
$$min (MA^2+3MB^2) = 3 \Leftrightarrow M\left ( \frac{1}{2};\frac{3}{2};2 \right )$$

Bài tập:
Trong không gian $Oxyz$, cho $A(3,1,1), B(7,3,9), C(2,2,2)$ và mặt phẳng $(P): x+y+z+3=0$. Tìm $M$ thuộc $(P)$ sao cho $\left | \overrightarrow{MA}+4\overrightarrow{MB}+9\overrightarrow{MC} \right |$ đạt giá trị nhỏ nhất