[Đấu trường VMF 2011] Trận 4: ALPHA - GAMA

Đề thi của Gama 
Câu 1:
Cho các số thực dương $a ; b ; c$ thoả : $abc =1$. Chứng minh

 $a^{4} + b^{4}+ c^{4} + a^2+b^2+c^2 + a+b+c \ge \frac{2}{a^2} + \frac{2}{b^2} + \frac{2}{c^2} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Câu 2: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB \ne AC$ ;đường cao $AH$; hạ $HK$ vuông góc $AC$ tại $K$, $BK$ cắt trung trực $BC$ tại $M$; $AM$ cắt trung trực $AC$ tại $N$. Chứng minh $HN //BM$.

Câu 3. Tính tổng:$S = \sum _{k=1}^{2012}\left [ \frac{\sqrt{8k+1}-1}{2} \right ]$

Câu 4: Cho tam giác $ABC$ ; trung tuyến $AM$ ; phân giác $AN$ ; đường thẳng qua $N$ ; vuông góc $NA$ cắt $MA ; AB$ tại $Q ; P$. Từ $P$ kẻ đường vuông góc $BA$ ; cắt $NA$ tại $O$. Chứng minh rằng $OQ$ vuông góc $BC$

Câu 5 : Tìm tất cả các hàm số $f : \mathbb{N^{*}} \to \mathbb{N^{*}}$ thoả mãn các điều kiện :
$1/ f(2) = 2$
$2/$ Với các số nguyên dương tuỳ ý $m ; n$ nguyên tố cùng nhau thì $f(mn ) = f(m) \cdot f(n)$
$3/ f$ tăng nghiêm ngặt

Câu 6 :
Tìm tất cả các số tự nhiên $n \ge 3$ thoả mãn :
Trên mặt phẳng tồn tại tập hợp $M$ gồm $n$ điểm ; với mỗi điểm thuộc $M$ sẽ có đúng 2 điểm khác thuộc $M$ có khoảng cách đến nó là 1 .Hơn nữa ; khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ thuộc $M$ không vượt quá 1