[Đấu trường VMF 2011] Trận 4: ALPHA - GAMA

Đề thi của Gama 
Câu 1:
Cho các số thực dương $ a ; b ; c $ thoả : $ abc =1 $. Chứng minh

 $ a^{4} + b^{4}+ c^{4} + a^2+b^2+c^2 + a+b+c \ge \frac{2}{a^2} + \frac{2}{b^2} + \frac{2}{c^2} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Câu 2: Cho tam giác $ ABC$ vuông tại $ A$, $ AB \ne AC$ ;đường cao $ AH$; hạ $ HK$ vuông góc $ AC$ tại $ K$, $ BK$ cắt trung trực $ BC$ tại $ M$; $ AM$ cắt trung trực $ AC$ tại $ N$. Chứng minh $ HN //BM$.

Câu 3. Tính tổng:$ S = \sum _{k=1}^{2012}\left [ \frac{\sqrt{8k+1}-1}{2} \right ]$

Câu 4: Cho tam giác $ ABC$ ; trung tuyến $ AM$ ; phân giác $ AN$ ; đường thẳng qua $ N$ ; vuông góc $ NA$ cắt $ MA ; AB$ tại $ Q ; P$. Từ $ P$ kẻ đường vuông góc $ BA$ ; cắt $ NA $ tại $ O$. Chứng minh rằng $ OQ $ vuông góc $ BC$

Câu 5 : Tìm tất cả các hàm số $ f : \mathbb{N^{*}} \to \mathbb{N^{*}}$ thoả mãn các điều kiện :
$ 1/ f(2) = 2$
$ 2/$ Với các số nguyên dương tuỳ ý $ m ; n$ nguyên tố cùng nhau thì $ f(mn ) = f(m) \cdot f(n)$
$ 3/ f$ tăng nghiêm ngặt

Câu 6 :
Tìm tất cả các số tự nhiên $ n \ge 3$ thoả mãn :
Trên mặt phẳng tồn tại tập hợp $ M$ gồm $ n$ điểm ; với mỗi điểm thuộc $ M$ sẽ có đúng 2 điểm khác thuộc $ M$ có khoảng cách đến nó là 1 .Hơn nữa ; khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ thuộc $ M$ không vượt quá 1