Processing math: 100%

[Đấu trường VMF 2011] Trận 4: ALPHA - GAMA

Thứ Tư, 16 tháng 11, 2011

Đề thi của Gama 
Câu 1:
Cho các số thực dương a ; b ; c thoả : abc =1 . Chứng minh
  a^{4} + b^{4}+ c^{4} + a^2+b^2+c^2 + a+b+c \ge \frac{2}{a^2} + \frac{2}{b^2} + \frac{2}{c^2} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b}+\frac{1}{c}

Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB \ne AC ;đường cao AH; hạ HK vuông góc AC tại K, BK cắt trung trực BC tại M; AM cắt trung trực AC tại N. Chứng minh HN //BM.

Câu 3. Tính tổng: S = \sum _{k=1}^{2012}\left [ \frac{\sqrt{8k+1}-1}{2} \right ]

Câu 4: Cho tam giác ABC ; trung tuyến AM ; phân giác AN ; đường thẳng qua N ; vuông góc NA cắt MA ; AB tại Q ; P. Từ P kẻ đường vuông góc BA ; cắt NA tại O. Chứng minh rằng OQ vuông góc BC

Câu 5 : Tìm tất cả các hàm số f : \mathbb{N^{*}} \to \mathbb{N^{*}} thoả mãn các điều kiện :
1/ f(2) = 2
2/ Với các số nguyên dương tuỳ ý m ; n nguyên tố cùng nhau thì f(mn ) = f(m) \cdot f(n)
3/ f tăng nghiêm ngặt

Câu 6 :
Tìm tất cả các số tự nhiên n \ge 3 thoả mãn :
Trên mặt phẳng tồn tại tập hợp M gồm n điểm ; với mỗi điểm thuộc M sẽ có đúng 2 điểm khác thuộc M có khoảng cách đến nó là 1 .Hơn nữa ; khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ thuộc M không vượt quá 1

0 comments:

Đăng nhận xét

 
Copyright © 2012 Hoàng Ngọc Thế. All rights reserved. Ghi rõ nguồn Hoàng Ngọc Thế khi phát hành lại thông tin trên trang này.