[ĐẤU TRƯỜNG VMF 2011] DELTA - ALPHA

ĐẤU TRƯỜNG VMF 2011 LƯỢT VỀ

TRẬN ALPHA – DELTA

ĐỀ CỦA ALPHA

Câu 1 (THCS). Giải hệ phương trình:

$$\left\{ \begin{array}{l} u + v = 2 \\ ux + vy = 3 \\ ux^2 + vy^2 = 5 \\ ux^3 + vy^3 = 9 \\ \end{array} \right.$$ .

Câu 2 (THCS). Cho ba điểm phân biệt $A, B, C$ và $M$ là một điểm bất kì. Gọi $d$ là đoạn lớn nhất trong các đoạn $MA, MB, MC$. Tìm vị trí của điểm $M$ để $d$ nhỏ nhất.

Câu 3 (THPT). Cho $a \in (0;1)$.Xét dãy $(u_n)$ xác định như sau:
$$\left\{ \begin{array}{l} u_1 = a \\ u_{n + 1} = \frac{1}{2}\sqrt[3]{{\left( {1 - u_n } \right)^5 }},\forall n \ge 1 \\ \end{array} \right.$$

Dãy $(u_n)$ có hội tụ hay không?

Câu 4 (THPT). Cho tứ diện $ABCD$ có thể tích bằng $1$, xét các điểm $M, K, E, N, H, F$ tương ứng thuộc các cạnh $AB, AC, AD, CD, DB, BC$. kí hiệu $V_1 ,V_2 ,V_3 ,V_4$ lần lượt là thể tích các khối tứ diện $MAKE, BMHF, CFKN, DNEH$. Tìm giá trị lớn nhất của
$$P = \sqrt[3]{{V_1 }} + \sqrt[3]{{V_2 }} + \sqrt[3]{{V_3 }} + \sqrt[3]{{V_4 }}$$ .

Câu 5 (THPT). Cho $n (n \neq 3  )$ số thực dương
$x_1 ,x_2 ,...,x_n$  thỏa mãn $\sum\limits_{k = 1}^n {x_k^2 } = n$ . Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{8}\left( {\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{x_k^2 }}} } \right) \ge \frac{{3n - 10}}{8} + \frac{1}{{n(n - 1)}} + \frac{1}{{\sum\limits_{1 \le j \le j \le n} {x_i x_j } }}$$
.
Câu 6 (Olympiad). Tìm hàm$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$  thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện sau:
i) Hàm $f$ bị chặn trên
ii) $f(xf(y)) + yf(x) = xf(y) + f(xy),\forall x,y \in \mathbb{R}$

ĐỀ CỦA DELTA

Câu 1 (THCS)

Chứng minh phương trình sau có vô số nghiệm nguyên dương :

$$a^2 + b^2 = z^7 + z$$

câu 2 (THCS)
Cho điểm $A$ nằm ngoài đường tròn $(O)$. Từ $A$ kẻ các tiếp tuyến $AB ; AC$ tới đường tròn này . $P$ thuộc tia đối của tia $CA$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABP$ cắt đườn tròn $(O)$ tại điểm $M$ không trùng $B$. $H$ là hình chiếu của $C$ trên $BP$
Chứng minh rằng $\measuredangle HMP = 2\measuredangle APB$

Câu 3 (THPT)
Cho $3$ số thực dương $a ; b ; c$ thoả mãn : $D= ac - b^2 >0$
Xét đa thức $f(x;y) = ax^2 + bxy+ cy^2$
Chứng minh rằng tồn tại 2 số nguyên $u ; v$ không đồng thời bằng $0$ sao cho :
$$\left |f(u;v) \right | \le 2\sqrt{\frac{D}{3}}$$

Câu 4 (THPT)

Tìm tất cả các hàm số $f$ xác định trên $\mathbb{R}$ ; nhận giá trị trong $\mathbb{R}$ thoả mãn :

$$f(f(x)+y)= 2y + f(f(y)-x) \ \ \forall x;y \in \mathbb{R}$$

Câu 5 (THPT)

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(O)$. $M$ là giao điểm $2$ đường chéo. $P ; Q$ lần lượt là trung điểm $AB$ và $BC$ . Chứng minh rằng nếu $PM$ vuông góc $CD$ thì $QM$ vuông góc $AD$

Câu 6 (Olympiad)
Cho trước số nguyên $n \ge 2$ ; các số thực $x_1 ; x_2 ; ... ; x_n$ thoả mãn :

$$\sum_{i=1}^{n} x^2_i + \sum_{i=1}^{n-1}x_i x_{i+1} =1$$

Với mỗi $1 \le k \le n$. Tìm GTLN của $| x_k|$

Hãy cùng xem họ thi đấu tại: http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?showtopic=68196&st=0#entry299440