ĐẤU TRƯỜNG VMF 2011 LƯỢT VỀ
TRẬN ALPHA – DELTA
ĐỀ CỦA ALPHA
Câu 1 (THCS). Giải hệ phương trình:
\left\{ \begin{array}{l} u + v = 2 \\ ux + vy = 3 \\ ux^2 + vy^2 = 5 \\ ux^3 + vy^3 = 9 \\ \end{array} \right..
Câu 2 (THCS). Cho ba điểm phân biệt A, B, C và M là một điểm bất kì. Gọi d là đoạn lớn nhất trong các đoạn MA, MB, MC. Tìm vị trí của điểm M để d nhỏ nhất.
Câu 3 (THPT). Cho a \in (0;1).Xét dãy (u_n) xác định như sau:
\left\{ \begin{array}{l} u_1 = a \\ u_{n + 1} = \frac{1}{2}\sqrt[3]{{\left( {1 - u_n } \right)^5 }},\forall n \ge 1 \\ \end{array} \right.
Dãy (u_n) có hội tụ hay không?
Câu 4 (THPT). Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 1, xét các điểm M, K, E, N, H, F tương ứng thuộc các cạnh AB, AC, AD, CD, DB, BC. kí hiệu V_1 ,V_2 ,V_3 ,V_4 lần lượt là thể tích các khối tứ diện MAKE, BMHF, CFKN, DNEH. Tìm giá trị lớn nhất của
P = \sqrt[3]{{V_1 }} + \sqrt[3]{{V_2 }} + \sqrt[3]{{V_3 }} + \sqrt[3]{{V_4 }}.
Câu 5 (THPT). Cho n (n \neq 3 ) số thực dương
x_1 ,x_2 ,...,x_n thỏa mãn \sum\limits_{k = 1}^n {x_k^2 } = n . Chứng minh rằng:
\frac{1}{8}\left( {\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{x_k^2 }}} } \right) \ge \frac{{3n - 10}}{8} + \frac{1}{{n(n - 1)}} + \frac{1}{{\sum\limits_{1 \le j \le j \le n} {x_i x_j } }}
.
Câu 6 (Olympiad). Tìm hàmf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện sau:
i) Hàm f bị chặn trên
ii) f(xf(y)) + yf(x) = xf(y) + f(xy),\forall x,y \in \mathbb{R}
\left\{ \begin{array}{l} u + v = 2 \\ ux + vy = 3 \\ ux^2 + vy^2 = 5 \\ ux^3 + vy^3 = 9 \\ \end{array} \right..
Câu 2 (THCS). Cho ba điểm phân biệt A, B, C và M là một điểm bất kì. Gọi d là đoạn lớn nhất trong các đoạn MA, MB, MC. Tìm vị trí của điểm M để d nhỏ nhất.
Câu 3 (THPT). Cho a \in (0;1).Xét dãy (u_n) xác định như sau:
\left\{ \begin{array}{l} u_1 = a \\ u_{n + 1} = \frac{1}{2}\sqrt[3]{{\left( {1 - u_n } \right)^5 }},\forall n \ge 1 \\ \end{array} \right.
Dãy (u_n) có hội tụ hay không?
Câu 4 (THPT). Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 1, xét các điểm M, K, E, N, H, F tương ứng thuộc các cạnh AB, AC, AD, CD, DB, BC. kí hiệu V_1 ,V_2 ,V_3 ,V_4 lần lượt là thể tích các khối tứ diện MAKE, BMHF, CFKN, DNEH. Tìm giá trị lớn nhất của
P = \sqrt[3]{{V_1 }} + \sqrt[3]{{V_2 }} + \sqrt[3]{{V_3 }} + \sqrt[3]{{V_4 }}.
Câu 5 (THPT). Cho n (n \neq 3 ) số thực dương
x_1 ,x_2 ,...,x_n thỏa mãn \sum\limits_{k = 1}^n {x_k^2 } = n . Chứng minh rằng:
\frac{1}{8}\left( {\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{x_k^2 }}} } \right) \ge \frac{{3n - 10}}{8} + \frac{1}{{n(n - 1)}} + \frac{1}{{\sum\limits_{1 \le j \le j \le n} {x_i x_j } }}
.
Câu 6 (Olympiad). Tìm hàmf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện sau:
i) Hàm f bị chặn trên
ii) f(xf(y)) + yf(x) = xf(y) + f(xy),\forall x,y \in \mathbb{R}
ĐỀ CỦA DELTA
Câu 1 (THCS)
Chứng minh phương trình sau có vô số nghiệm nguyên dương :
a^2 + b^2 = z^7 + z
câu 2 (THCS)
Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ các tiếp tuyến AB ; AC tới đường tròn này . P thuộc tia đối của tia CA. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABP cắt đườn tròn (O) tại điểm M không trùng B. H là hình chiếu của C trên BP
Chứng minh rằng \measuredangle HMP = 2\measuredangle APB
Câu 3 (THPT)
Cho 3 số thực dương a ; b ; c thoả mãn : D= ac - b^2 >0
Xét đa thức f(x;y) = ax^2 + bxy+ cy^2
Chứng minh rằng tồn tại 2 số nguyên u ; v không đồng thời bằng 0 sao cho :
\left |f(u;v) \right | \le 2\sqrt{\frac{D}{3}}
Câu 4 (THPT)
Câu 1 (THCS)
Chứng minh phương trình sau có vô số nghiệm nguyên dương :
a^2 + b^2 = z^7 + z
câu 2 (THCS)
Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ các tiếp tuyến AB ; AC tới đường tròn này . P thuộc tia đối của tia CA. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABP cắt đườn tròn (O) tại điểm M không trùng B. H là hình chiếu của C trên BP
Chứng minh rằng \measuredangle HMP = 2\measuredangle APB
Câu 3 (THPT)
Cho 3 số thực dương a ; b ; c thoả mãn : D= ac - b^2 >0
Xét đa thức f(x;y) = ax^2 + bxy+ cy^2
Chứng minh rằng tồn tại 2 số nguyên u ; v không đồng thời bằng 0 sao cho :
\left |f(u;v) \right | \le 2\sqrt{\frac{D}{3}}
Câu 4 (THPT)
Tìm tất cả các hàm số f xác định trên \mathbb{R} ; nhận giá trị trong \mathbb{R} thoả mãn :
f(f(x)+y)= 2y + f(f(y)-x) \ \ \forall x;y \in \mathbb{R}
Câu 5 (THPT)
f(f(x)+y)= 2y + f(f(y)-x) \ \ \forall x;y \in \mathbb{R}
Câu 5 (THPT)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O). M là giao điểm 2 đường chéo. P ; Q lần lượt là trung điểm AB và BC . Chứng minh rằng nếu PM vuông góc CD thì QM vuông góc AD
Câu 6 (Olympiad)
Cho trước số nguyên n \ge 2 ; các số thực x_1 ; x_2 ; ... ; x_n thoả mãn :
\sum_{i=1}^{n} x^2_i + \sum_{i=1}^{n-1}x_i x_{i+1} =1
Với mỗi 1 \le k \le n. Tìm GTLN của | x_k|
Câu 6 (Olympiad)
Cho trước số nguyên n \ge 2 ; các số thực x_1 ; x_2 ; ... ; x_n thoả mãn :
\sum_{i=1}^{n} x^2_i + \sum_{i=1}^{n-1}x_i x_{i+1} =1
Với mỗi 1 \le k \le n. Tìm GTLN của | x_k|
Hãy cùng xem họ thi đấu tại: http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?showtopic=68196&st=0#entry299440
0 comments:
Đăng nhận xét