Tìm điều kiện của tham số $m$ để hàm số $f(x)$ đơn điệu

Các bạn thân mến!

Dạng toán tìm điều kiện của tham số $m$ để hàm số $f(x)$ đồng biến (nghịch biến) trên 1 khoảng là một dạng bài thường gặp khi thi đại học. Một số sách tham khảo thường giải các bài toán dạng này bằng cách sử dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai. Định lý này hiện nay đã không còn được học trong chương trình THPT nữa. Do đó cách giải như vậy là không hợp lệ trong kì thi TSĐH. Dưới đây, mình trình bày một vài ví dụ về cách giải các bài toán dạng này.

I - Nhắc lại lý thuyết

1) Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $K$; $\forall x_1 ,x_2  \in K;x_1  < x_2$ Khi đó:

$f(x)$ đồng biến trên $K$  $\Leftrightarrow f(x_1 ) < f(x_2 )$

$f(x)$ nghịch biến biến trên $K$ $ \Leftrightarrow f(x_1 ) > f(x_2 )$

2) Mối liên hệ giữa tính chất đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm:

$f ’(x) \geq 0, \forall x \in K$ thì $f(x)$ đồng biến trên $K$

$f ’(x) \leq 0, \forall x \in K$ thì $f(x)$ nghịch biến trên $K$

(Dấu “ =” chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm).

II - Ví dụ:

Ví dụ 1. Tìm điều kiện của tham số $m$ để hàm số $f(x) = 2x^3 + 3x^2 + 6mx – 1$  nghịch biến trên $(0;2)$.

Giải

TXĐ: $\mathbb{R}$

Ta có $f ’(x) = 6x^2 + 6x + 6m = 6(x^2+ x + m).$

$\Delta  = 1 – 4m$.

*) Với $m \geq \frac{1}{4}$ ta có $\Delta \leq 0$ nên $f ’(x) \geq 0, \forall x \in \mathbb{R}$. Do đó hàm số luôn đồng biến. Yêu cầu của bài toán không được thỏa mãn.

*) Với $m < \frac{1}{4}$ ta có $\Delta > 0$ nên phương trình $f’(x) = 0$ có hai nghiệm $x_1, x_2 (x_1< x_2)$. Bảng biến thiên của hàm số $f(x)$

 Từ bảng biến thiên, điều kiện cần và đủ để hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $(0;2)$ là:

$$x_1 \leq 0 < 2 \leq x_2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f'(0) \le 0 \\  f'(2) \le 0 \\  \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \le 0 \\  m \le  - 6 \\  \end{array} \right.\Leftrightarrow m \leq -6$$

Kết luận: hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $(0;2)$ khi và chỉ khi $m \leq - 6.$

Từ ví dụ 1, ta có lưu ý: đối với dạng toán này, nếu dấu của đạo hàm phụ thuộc dấu một tam thức bậc 2, phải chia hai trường hợp.

* TH1: $\Delta \leq 0$. Hàm số đã cho hoặc luôn đồng biến, hoặc luôn nghịch biến.

* TH2: $\Delta > 0$. Ta lập bảng biến thiên và sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai hoặc định lí Vi-et.

Xin đưa thêm một số ví dụ:

Ví dụ 2. Tìm điều kiện của tham số $m$ để hàm số sau đồng biến trên khoảng $(-\infty;1)$

$f(x) = \frac{{x^2  + m(m^2  - 1)x - m^3  - 1}}{{x - 1}}$

Giải

TXĐ: : $\mathbb{R} \setminus  \left \{ 1 \right \}$

Ta có: $f ’(x) = \frac{{x^2  - 2x + m + 1}}{{(x - 1)^2 }}, \forall x \neq 1$

dấu của $f’(x)$ phụ thuộc dấu của $g(x)= x^2– 2x + m +1$

Ta có: $\Delta ’ = - m$.

* Nếu $m \geq 0$ thì $\Delta ' \leq 0 $ nên $g(x) \geq 0, \forall x \Rightarrow  f’(x) \geq 0, \forall x \neq 1.$ Khi đó hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định. Do đó cũng đồng biến trên $(- \infty;1)$

* Nếu $m < 0$ thì $\Delta ' > 0$. Khi đó phương trình $f ’(x) = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2 (x_1 < 1 < x_2)$.

Ta có bảng biến thiên của $f(x)$

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy trong trường hợp này, không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Kết luận: Với $m \geq 0$ thì hàm số $f(x)$ đồng biến trên $(-\infty;1)$.

Ví dụ 3. Tìm điều kiện của tham số $m$ để hàm số $f(x) = x^3 – 3mx^2 + 3(2m – 1)x$ đồng biến trên $(2;3)$.

Giải

TXĐ: $\mathbb{R}$

Ta có $f’(x) = 3x^2 – 6mx + 6m – 3$;  $f’(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1 \\  x = 2m - 1 \\  \end{array} \right.$

* Nếu $m = 1$ thì $f’(x) \geq 0, \forall x \in \mathbb{R}$. Vậy hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Do đó hàm số cũng đồng biến trên $(2;3)$.

* Nếu $m > 1$ thì ta có bảng biến thiên của $f(x)$

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy trong trường hợp này, điều kiện cần và đủ để hàm số đồng biến trên $(2;3)$ là:

$$1< 2m – 1 \leq 2  \Leftrightarrow 1 < m \leq \frac{3}{2}$$

* Nếu $m < 1$ thì ta có bảng biến thiên của $f(x)$

Dễ thấy hàm số hiển nhiên đồng biến trên $(2;3)$

Kết luận: Điều kiện cần và đủ để hàm số đã cho đồng biến trên $(2;3)$ là:

$$m \leq \frac{3}{2}$$

III – Bài tập:

Mời các bạn làm thêm một số bài tập:

1)  Bài tập 5 tr.8 (SGK GT 12NC), bài tập 8 tr. 44 (SGK GT 12CB), bài 1.81 tr.27 (SBT GT 12NC)

2) Tìm $m$ để hàm số $y = x^3 + (m – 1)x^2 – (2m^2 + 3m + 2)x$ đồng biến trên $(2;+\infty)$.

3) Tìm $m$ để hàm số $y = (m + 1)x^3 + mx^2 – x$ đồng biến trên $(-\infty;-1)$.

4) Tìm $m$ để hàm số $y = \frac{{x^2  + x + 1}}{{x - m}}$ đồng biến trên $(2;+\infty)$.

5) (ĐH Hàng Hải 2000-2001) Tìm $m$ để hàm số $y = - \frac{1}{3}x^3 + (m – 1)x^2– (m – 3)x – 4$ đồng biến trên $(0;3).$