[Viết cho Thảo] Tìm hệ số của $x^3$ trong khai triển $\left ( x+\frac{2}{x^2} \right )^6$

Bài toán của Thảo là:

Tìm hệ số của $x^3$ trong khai triển $\left ( x+\frac{2}{x^2} \right )^6$

Giải

Ta có:

$$\left ( x+\frac{2}{x^2} \right )^6 = \sum_{k=1}^{6}C^k_6 x^{6-k} \left ( \frac{2}{x^2} \right )^k$$

Giờ ta cần tìm $k$ để cho

$$x^{6-k}\left ( \frac{1}{x^2}\right )^k=x^3$$

$$\Leftrightarrow 6-k-2k=3\Leftrightarrow 6-3k=3\Leftrightarrow 3k=3\Leftrightarrow k=1$$

Vậy hệ số cần tìm là

$$C^1_6.2^1 = 6.2=12$$