Brazil National Olympiad 2012

Thảo luận tại đây

Ngày 1
Câu 1. Trong nuôi cấy vi khuẩn, có hai loài: vi khuẩn màu đỏ và vi khuẩn màu xanh.
Khi hai vi khuẩn màu đỏ gặp nhau, chúng biến thành một vi khuẩn màu xanh.
Khi hai vi khuẩn màu xanh gặp nhau, họ biến đổi thành bốn vi khuẩn màu đỏ.
Khi một vi khuẩn màu đỏ và một vi khuẩn màu xanh gặp nhau, chúng biến thành ba vi khuẩn màu đỏ.

Tìm công thức liên hệ giữa số lượng vi khuẩn màu xanh và vi khuẩn màu đỏ ban đầu trong nuôi cấy,
với tất cả số lượng vi khuẩn có thể có, và số lượng có thể từng loại vi khuẩn màu đỏ và màu xanh.

Câu 2. Cho tam giác $ABC$ không cân.
Gọi $T_A$ là tiếp điểm của cạnh $BC$ với đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. Tương tự ta có $T_B, T_C$
Gọi $I_A$ là tâm đường tròn bàng tiếp cạnh $BC$ của tam giác. Tương tự ta có $I_B, I_C$
Gọi $X_A$ là trung điểm $I_BIC$. Tương tự ta có $X_B, X_C$.
Chứng minh rằng $X_AT_A,X_BT_B,X_CT_C$ đồng quy tại một điểm. Điểm đó thẳng hàng với tâm ngoại tiếp và tâm nội tiếp tam giác $ABC$.

Câu 3. Tìm số nguyên không âm nhỏ nhất $n$ sao cho tồn tại số nguyên không âm $k$ thỏa mãn: $2012$ chữ số cuối cùng của $n^k$ trong hệ thập phân đều là chữ số $1$

Ngày 2
Câu 4. Tồn tại hay không các số nguyên $n,a_1,a_2,\ldots,a_{2012}$ sao cho
$$n^2=\sum_{1\leq i\leq 2012}{{a_i}^{p_i}}$$
Trong đó $p_i$ là số nguyên tố thứ $i$, $p_1=2,p_2=3,p_3=5,p_4=7,\ldots$ và $a_i>1, \forall i$

Câu 5. Có bao nhiêu cách sử dụng $4$ màu để tô màu một bàn cờ $n \times n$ sao cho hai ô vuông chung cạnh khác màu nhau và mỗi hình vuông $2 \times 2$ chứa $4$ hình vuông nhỏ với đủ $4$ màu khác nhau.

Câu 6. Tìm tất cả các hàm số là toàn ánh $f:(0;+\infty)\to (0;+\infty)$ sao cho:
$$2x\cdot f(f(x)) = f(x)\cdot (x+f(f(x)))$$

Dịch theo AoPS