Pan African 2012

Câu 1
Cho $AB$ là một dây cung (không phải đường kính) của đường tròn tâm $O$. Gọi $T$ là một điểm trên $OB$. Đường thẳng đi qua $T$ và vuông góc với $OB$ cắt $AB$ tại $C$ và đường tròn tại $D$ và $E$. Gọi $S$ là hình chiếu của $T$ trên $AB$. Chứng minh rằng   $$AS. BC = TE. TD$$

Câu 2
Tìm tất cả các số nguyên dương $m$ và $n$ sao cho $n^m-m$ chia hết $m^2+2m$

Câu 3
Tìm tất cả các số thực $x$ là nghiệm của phương trình:
$$\lfloor x^2-2x\rfloor+2\lfloor x\rfloor =\lfloor x\rfloor^2$$

Câu 4
Các số $\frac{1}{1},\frac{1}{2},\cdots ,\frac{1}{2012}$ được viết lên một cái bảng. Aicha chọn bất kỳ hai số từ trên bảng, giả sử là $x$ và $y$, cô xóa chúng rồi viết vào chỗ đã xóa số $x+y+xy$. Cô tiếp tục để làm điều này cho đến khi chỉ có một số còn lại trên bảng. Các giá trị có thể có của số cuối cùng là bao nhiêu?

Câu 5
Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ thỏa mãn:
$$f(x^2-y^2) = (x+y)(f(x)-f(y)), \forall x, y$$

Câu 6
(1) Tìm các góc của tam giác $ABC$ nếu chiều dài của đường cao từ đỉnh $B$ bằng độ dài trung tuyến từ đỉnh $C$ và độ dài đường cao từ đỉnh $C$  bằng độ dài trung tuyến từ đỉnh $B$

(2) Tìm tất cả các giá trị có thể có của $\widehat{ABC}$ trong tam giác $ABC$ nếu độ dài đường cao từ đỉnh $A$ bằng độ dài trung tuyến từ đỉnh $C$ và độ dài đường cao từ đỉnh $C$  bằng độ dài trung tuyến từ đỉnh $B$