EGMO 2013

 EGMO là cuộc thi Olympic toán học châu Âu dành cho nữ sinh. Cuộc thi năm nay được tổ chức tại Luxembourg

Ngày 1 - 10/04/2013

Câu 1

Kéo dài cạnh $BC$ của tam giác $ABC$ về phía $C$ và lấy điểm $D$ sao cho $CD=BC$. Kéo dài cạnh $CA$ về phía $A$ và lấy $E$ sao cho $AE=2CA$. Chứng minh rằng nếu $AD=BE$ thì tam giác $ABC$ vuông.

Câu 2. 

Tìm tất cả các số nguyên $m$ sao cho hình vuông $m \times m$ có thể cắt thành 5 hình chữ nhật sao cho chiều dài của chúng là các số nguyên $1,2,3,...,10$ theo thứ tự nào đó. (Nguyên văn: in some order)

Câu 3.

Gọi $n$ là một số nguyên dương.

(a) Chứng minh rằng tồn tại tập $S$ gồm $6n$ số nguyên dương đôi một phân biệt sao cho bội chung nhỏ nhất của hai phần tử bất kì của $S$ đều không vượt quá $32n^2$

(b) Chứng minh rằng mọi tập $T$ gồm ồm $6n$ số nguyên dương đôi một phân biệt đều chứa hai phần tử mà bội chung nhỏ nhất của chúng lớn hơn $9n^2$

Ngày 2 - 11/04/2013

Câu 4

Tìm tất cả các số nguyên dương $a,b$ sao cho tồn tại 3 số nguyên liên tiếp để đa thức $P(n) = \frac{n^5+a}{b}$ nhận giá trị nguyên.

Câu 5.

Gọi $\Omega$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Đường tròn $\omega$ tiếp xúc với các cạnh $AC,BC$ và tiếp xúc trong vơi $\Omega$ tại $P$. Một đường thẳng song song với $AB$ tiếp xúc với đường tròn $\omega$ tại $Q$ ở miền trong của tam giác $ABC$.

Chứng minh rằng: $\angle ACP = \angle QCB$

Câu 6

Nàng Bạch Tuyết và bảy Chú lùn đang sống tại căn nhà của họ trong rừng. Trong 16 ngày liên tục, một vài chú lùn làm việc trong các mỏ kim cương trong khi các chú lùn còn lại thu quả trong rừng. Không chú lùn nào làm cả hai loại công việc trong cùng một ngày. Bất kỳ hai ngày khác nhau (không nhất thiết phải liên tiếp), ít nhất ba chú lùn từng thực hiện cả hai loại công việc. Hơn nữa, vào ngày đầu tiên, tất cả bảy chú lùn làm việc trong các mỏ kim cương.

Chứng minh rằng, có một trong 16 ngày, tất cả bảy chú lùn đã cùng đi thu quả

 Theo AoPS