Tìm vị trí của $M,N$ để diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P)$ và $MN$ là lớn nhất

Bài toán

Cho 2 điểm $M,N$ thuộc $(P): y^2=-x$ sao cho $MN=2$. Tìm vị trí của $M,N$ để diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P)$ và $MN$ là lớn nhất

Giải

Giả sử $M(-m^2;m), N(-n^2;n) \in(P)$. Khi đó ta có:

$$\left ( n^2-m^2 \right )^2 +(n-m)^2=4$$
$$\Rightarrow \left | n-m \right | = \frac{2}{\sqrt{(m+n)^2+1}} \leq 2$$

Đường thẳng $MN$ có phương trình:

$$x=-m^2-(m+n)(y-m)$$

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

$$S=\left | \int_{m}^{n} \left [ y^2-m^2-(m+n)(y-m) \right ]dy\right |=\frac{1}{6}\left | n-m \right |^3$$

Từ đó, ta có: $S\leq \frac{4}{3}$. Dấu "$=$" xảy ra khi và chỉ khi:

$$\left\{\begin{matrix}m+n=0\\|m-n|=2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow (m,n) \in \left \{ (1;-1),(-1;1) \right \}$$

Vậy $M,N$ là hai điểm $(-1;1),(-1;-1)$