Bài toán
Cho 2 điểm M,N thuộc (P): y^2=-x sao cho MN=2. Tìm vị trí của M,N để diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và MN là lớn nhất
Giải
Giả sử M(-m^2;m), N(-n^2;n) \in(P). Khi đó ta có:
\left ( n^2-m^2 \right )^2 +(n-m)^2=4
\Rightarrow \left | n-m \right | = \frac{2}{\sqrt{(m+n)^2+1}} \leq 2
\Rightarrow \left | n-m \right | = \frac{2}{\sqrt{(m+n)^2+1}} \leq 2
Đường thẳng MN có phương trình:
x=-m^2-(m+n)(y-m)
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
S=\left | \int_{m}^{n} \left [ y^2-m^2-(m+n)(y-m) \right ]dy\right |=\frac{1}{6}\left | n-m \right |^3
Từ đó, ta có: S\leq \frac{4}{3}. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
\left\{\begin{matrix}m+n=0\\|m-n|=2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow (m,n) \in \left \{ (1;-1),(-1;1) \right \}
Vậy M,N là hai điểm (-1;1),(-1;-1)
tại sao lại có m+n=0, em ko hiểu ạ